Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 27: Ứng dụng tích phân (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích
 (C1) : y f (x)
 b
 Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C ) : y g(x) thì diện tích là S f (x) g(x) dx .
 2 
 a
 x a, x b (a b)
 (C1) : y f (x)
 b
Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C ) :Ox : y 0 thì diện tích là S f (x) dx .
 2 
 a
 x a, x b (a b)
 Selip ab.
 x2 y2
 (E) : 1
 a2 b2
 Hình thức đề thường hay cho
Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng (H ) :{y f (x), y g(x), x a, x b (a b)}
 b
casio f (x) g(x) dx kết quả, so sánh với bốn đáp án.
 a
Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng (H ) :{y f (x), y g(x)}
 xi
Giải f (x) g(x) tìm nghiệm x ,..., x , với x nhỏ nhất, x lớn nhất casio f (x) g(x) dx.
 1 i 1 i 
 x1
Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho trên hình), chia từng 
 diện tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính.
Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y f (x), y g(x), y h(x) ta nên vẽ hình.
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn có 
 phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích 
 của H bằng
 4 3 4 3 4 2 3 3 5 3 2 
 A. B. C. D. 
 12 6 6 3
 Lời giải
 Chọn B
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1
 du dx
 u ln x x x2 e 1 e e2 x2 e e2 1
 Đặt . Suy ra S ln x xdx .
 dv xdx x2 2 1 2 2 4 1 4
 v 1
 2
Câu 4. Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 
 y 2x 3 và các đường thẳng y 0, x 0, x m bằng 10 là
 7
 A. m .B. m 5 .C. m 2 .D. m 1.
 2
 Lời giải
 Vì m 0 nên 2x 3 0,x 0;m.
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x 3 và các đường thẳng y 0, x 0, x m 
 là:
 m
 m
 S 2x 3 .dx x2 3x m2 3m .
 0
 0
 Theo giả thiết ta có:
 2 2 m 2
 S 10 m 3m 10 m 3m 10 0 m 2 do m 0 .
 m 5
 ïì 7- 4x3 khi 0 £ x £ 1
 f x = ï
Câu 5. (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số ( ) í 2 . Tính diện tích hình phẳng 
 îï 4- x khi x > 1
 giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 0 .
 16 20
 A. .B. .C. 10 .D. 9.
 3 3
 Lời giải
 1 2 3
 S = ò(7- 4x3 )dx + ò(4- x2 )dx + ò(x2 - 4)dx
 0 1 2
 æ 3 ö æ 3 ö
 4 1 ç x ÷ 2 çx ÷3 7 8
 = (7x- x )| + ç4x- ÷| + ç - 4x÷| = 6+ 4- - 3- + 8 = 10 .
 0 èç 3 ø÷1 èç 3 ø÷ 2 3 3
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Phương trình hoành độ giao điểm của y x2 x 1 và y x4 x 1 là
 x 0
 2 4 2 4 
 x x 1 x x 1 x x 0 x 1 .
 x 1
 1 0 1
 Diện tích hình phẳng cần tìm là S x2 x4 dx x2 x4 dx x2 x4 dx
 1 1 0
 0 1 3 5 3 5
 2 4 2 4 x x 0 x x 1 2 2 4
 x x dx x x dx .
 1 0 3 5 1 3 5 0 15 15 15
 x 1
Câu 9. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H ) : y 
 x 1
 và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
 A. S ln 2 1.B. S 2ln 2 1. C. S ln 2 1.D. S 2ln 2 1.
 Lời giải
 Phương trình trục (Ox) và (Oy) lần lượt là y 0 và x 0 .
 x 1
 Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số (H ) và trục Ox: 0 x 1.
 x 1
 1 x 1 x 1
 Ta có: S dx . Vì 0, x 0;1 nên diện tích cần tìm là:
 0 x 1 x 1
 1 x 1 1 2 1
 S dx 1 dx x 2ln x 1 2ln 2 1.
 0 x 1 0 x 1 0
Câu 10. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ 
 sau:
 10 13 11
 A. .B. 4 . C. .D. .
 3 3 3
 Lời giải
 Cách 1: Coi x là hàm số theo biến số y .
 Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:
 x y2 (với y 0 ); x y 2; y 0 .
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 2
 12 x 
 Xét I 4 dx
 1 0 
 4 
 Đặt x 4sin t dx 4cos xdx
 Đổi cận: x 0 t 0; x 12 t 
 3
 3 3 4 
 I 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt 3
 1 
 0 0 3
 2
 12 x 2 3
 Xét I dx 
 2 0 12 3
 2 4 3 
 Vậy S 2I 2I 
 1 2 3
Câu 12. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn  5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích 
 của hình phẳng A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục hoành lần lượt 
 1
 là 6; 3; 12; 2 . Tính tích phân 2 f 2x 1 1 dx bằng
 3 
 A. 27. B. 25. C. 17. D. 21.
 Hướng dẫn giải
 1 1 1 3
 Ta có 2 f 2x 1 1 dx 2 f 2x 1 dx x f x dx 4
 3 3 3 5
 3
 Mà f x dx S S S S 6 3 12 2 17
 5 A B C D 
 1
 Vậy 2 f 2x 1 1 dx 21
 3 
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 14. [Kim Liên - Hà Nội - 2018] Cho H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn 
 10 2 x khi x 1
 bởi các đường có phương trình y x x , y . Diện tích của H bằng?
 3 x 2 khi x 1
 11 13 11 14
 A. . B. .C. .D. .
 6 2 2 3
 Lời giải
 Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x và y x 2 là: x x 2 x 1.
 Diện tích hình phẳng cần tính là:
 1 3
 10 2 10 2 
 S x x x dx x x x 2 dx .
 0 3 1 3 
 1 3
 13 2 7 2 
 S x x dx x x 2 dx
 0 3 1 3 
 1 3
 13 2 7 2 
 S x x dx x x 2 dx
 0 3 1 3 
 1 3
 3 3
 13 2 x 7 2 x 13
 S x x 2x .
 6 3 6 3 2
 0 1
Câu 15. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 
 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi 
 Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần 
 gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
 A. S 4,8 . B. S 3,9 .C. S 3,7 .D. S 3,4 .
 Lời giải
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
 x2 y2 x2 y2
 Hai Elip lần lượt có phương trình: E : 1 và E : 1
 1 4 1 2 1 4
 Trang 9