Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 26: Tích phân (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 26 TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM
 Dạng 1. Tích phân Hàm ẩn
Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến
 b
 Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện f u x dx thì ta sẽ đặt u x t
 a
Câu 1. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn 
 1 2
 f x dx 9 . Tích phân f 1 3x 9 dx bằng
 5 0 
 A. 15. B. 27 . C. 75. D. 21.
 Lời giải
 Chọn D
 2 2 2 2
 Ta có f 1 3x 9 dx f 1 3x dx 9dx f 1 3x dx 18.
 0 0 0 0
 2 dt
 Xét f 1 3x dx , đặt t 1 3x dt 3dx dx .
 0 3
 2 1 5 1 1
 Đổi cận khi x 0 t 1; x 2 t 5 . Suy ra f 1 3x dx f (t)dt f (t)dt .
 0 3 1 3 5
 2 1 1 1 1
 Khi đó f 1 3x 9 dx f (t)dt 18 f (x)dx 18 21.
 0 3 5 3 5
Câu 2. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn 
 10 10 1
 f x dx 7, f x dx 1. Tính P f 2x dx .
 0 2 0
 A. P 6 . B. P 6 . C. P 3. D. P 12.
 Lời giải
 Chọn C
 2 10 10
 Ta có: f x dx f x dx f x dx 6 .
 0 0 2
 1 1
 Xét P f 2x dx . Đặt t 2x dt 2dx dx dt .
 0 2
 Đổi cận:
 1 1 2 1 2
 Lúc đó: P f 2x dx f t dt f x dx 3.
 0 2 0 2 0
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1
 Đặt t 5 3x dt 3dx dx= dt .
 3
 Đổi cận: x 0 thì t 5 ; x 2 thì t 1.
 2 2 2 1 5
 dt 2 1
 Ta có: P f 5 3x 7 dx f 5 3x dx + 7dx f t 7x f t dt 14
 0 
 0 0 0 5 3 3 1
 1
 .15 14 19 .
 3
 4
Câu 6. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho f x dx 2018 . Tính tích phân 
 0
 2
 I f 2x f 4 2x dx .
 0
 A. I 0 . B. I 2018. C. I 4036 . D. I 1009 .
 Lời giải
 2 2
 Ta có I f 2x dx f 4 2x dx H K
 0 0
 2
 Tính K f 2x dx .
 0
 1 4
 Đặt t 2x dt 2dx ; đổi cận: x 0 t 2; x 2 t 4 . Nên K f t dt 1009
 2 0
 2
 Tính H f 4 2x dx ,
 0
 1 4
 Đặt t 4 2x dt 2dx ; đổi cận: x 0 t 4; x 2 t 0 . Nên H f t dt 1009
 2 0
 Suy ra I K H 2018.
 2 3
Câu 7. Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên  6;6. Biết rằng f x dx 8 ; f 2x dx 3. 
 1 1
 6
 Giá trị của I f x dx là
 1
 A. I 5 . B. I 2 . C. I 14 . D. I 11.
 Lời giải
 3 3
 Ta có y f x là hàm số chẵn, suy ra f 2x f 2x . Khi đó: f 2x dx f 2x dx 3.
 1 1
 3
 Xét tích phân: I f 2x dx .
 1 
 1
 1
 Đặt t 2x dt 2dx dt dx . Đổi cận: x 1 t 2 ; x 3 t 6 .
 2
 6 1 1 6 6 6
 I f t . dt f t dt 3 f t dt 6 f x dx 6 .
 1 
 2 2 2 2 2 2
 6 2 6
 Vậy I f x dx f x dx f x dx 8 6 14 .
 1 1 2
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 3 3 3
 Ta có: f x 3g x dx=10 f x dx+3 g x dx=10.
 1 1 1
 3 3 3
 2 f x g x dx=6 2 f x dx- g x dx=6 .
 1 1 1
 3 3
 Đặt u f x dx; v = g x dx .
 1 1
 3
 f x dx=4
 u 3v 10 u 4 1
 Ta được hệ phương trình: 
 2u v 6 v 2 3
 g x dx=2
 1
 3
 + Tính f 4 x dx
 1
 Đặt t 4 x dt dx; x 1 t 3; x 3 t 1.
 3 1 3 3
 f 4 x dx f t dt f t dt f x dx 4 .
 1 3 1 1
 2
 + Tính g 2x 1 dx
 1
 Đặt z 2x 1 dz 2dx; x 1 z 1; x 2 z 3.
 2 1 3 1 3
 g 2x 1 dx g z dz g x dx 1.
 1 2 1 2 1
 3 2
 Vậy f 4 x dx +2 g 2x 1 dx = 6.
 1 1
 1 2 7
Câu 12. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 2 và f 3x 1 dx 6 . Tính I f x dx .
 0 0 0
 A. I 16 . B. I 18 . C. I 8 . D. I 20 .
 Lời giải
 1 2
 A f x dx 2 , B f 3x 1 dx 6 đặt t 3x 1 dt 3dx .
 0 0
 x 0 t 1
 Đổi cận : 
 x 2 t 7
 1 7 7 7
 Ta có: B f t dt 6 f t dt 18 f x dx=18 .
 3 1 1 1
 7 1 7
 Vậy I f x dx f x dx f x dx 20 .
 0 0 1
Câu 13. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f 10 x và 
 7 7
 f x dx 4 . Tính I xf x dx .
 3 3
 A. 80 . B. 60 . C. 40 . D. 20 .
 Lời giải
 Đặt t 10 x . Khi đó dt dx .
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 x 4 t 9 9 1 1 9 1
 Đổi cận: . Vậy I f t dt f x dx .9 3.
 x 1 t 0 0 3 3 0 3
 1
Câu 17. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2x)dx 2 .Tích phân 
 0
 2
 f (x)dx bằng
 0
 A. 8. B. 1. C. 2. D. 4.
 Lời giải
 dt
 Đặt t 2x dt 2dx dx ,
 2
 x 0 t 0
 x 1 t 2
 1 2 f (t)dt 1 2 2
 Ta có 2 f (2x)dx f (t)dt f (t)dt 4
 0 0 2 2 0 0
 2 2
 Theo tính chất tích phân f (x)dx f (t)dt 4
 0 0
 2
 Vậy f (x)dx 4
 0
 2017 1
Câu 18. Cho hàm f x thỏa mãn f x dx 1. Tính tích phân I f 2017x dx .
 0 0
 1
 A. I . B. I 0 . C. I 2017 . D. I 1.
 2017
 Lời giải
 1
 Đặt t 2017x dt 2017dx dx dt
 2017
 Đổi cận: x 0 t 0 ; x 1 t 2017
 2017 1 1 2017 1
 Vậy I f t . dt f t dt .
 0 2017 2017 0 2017
 2 1
Câu 19. Cho tích phân f x dx a . Hãy tính tích phân I xf x2 1 dx theo a .
 1 0
 a a
 A. I 4a . B. I . C. I . D. I 2a .
 4 2
 Lời giải
 Đặt t x2 1 dt 2xdx .
 Đổi cận
 1 2 dt 1 2 1 2 a
 I xf x2 1 dx f t . f t dt f x dx .
 0 1 2 2 1 2 1 2
 Trang 7