Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 25: Nguyên hàm (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 25 NGUYÊN HÀM
 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u(x) f (x) u' (x) f (x) h(x) 
Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u(x) f (x) u (x) f (x) [u(x) f (x)] 
Do dó u(x) f (x) u (x) f (x) h(x) [u(x) f (x)] h(x)
Suy ra u(x) f (x) h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (x) f (x) h(x) 
Phương pháp:
 x x x x x x
Nhân hai vế vói e ta durọc e  f (x) e  f (x) e h(x) e  f (x) e h(x)
Suy ra ex  f (x) ex h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f (x) f (x) h(x)
Phương pháp:
 x x x x x x
Nhân hai vế vói e ta durọc e  f (x) e  f (x) e h(x) e  f (x) e h(x)
Suy ra e x  f (x) e x h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (x) p(x) f (x) h(x)
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) 
Phương pháp:
 p(x)dx
Nhân hai vế với e ta được 
 p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx
 f (x)e p(x)e  f (x) h(x)e f (x)e h(x)e 
 p(x)dx p(x)dx
Suy ra f (x)e e h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f (x) p(x) f (x) 0
Phương pháp:
 f (x) f (x)
Chia hai vế với f (x) ta đựơc p(x) 0 p(x)
 f (x) f (x)
 f (x)
Suy ra dx p(x)dx ln | f (x) | p(x)dx
 f (x) 
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f (x) p(x)[ f (x)]n 0 
Phương pháp:
 f (x) f (x)
Chia hai vế với [ f (x)]n ta được p(x) 0 p(x)
 [ f (x)]n [ f (x)]n
 f (x) [ f (x)] n 1
Suy ra dx p(x)dx p(x)dx
 [ f (x)]n n 1 
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 4 19 16 3 4
 Mà f 2 C C . Suy ra f x .
 19 4 4 4 x4 3
 Vậy f 1 1.
Câu 4. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn 
 điều kiện: f 1 2ln 2 và x. x 1 . f x f x x2 x . Biết f 2 a b.ln 3 ( a , b ¤ ). 
 Giá trị 2 a2 b2 là
 27 3 9
 A. . B. 9 . C. . D. .
 4 4 2
 Lời giải
 Chọn B
 2
 Chia cả hai vế của biểu thức x. x 1 . f x f x x2 x cho x 1 ta có
 x 1 x x x
 . f x f x . f x 
 2 .
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 x x x 1 
 Vậy . f x . f x dx dx 1 dx x ln x 1 C .
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 1
 Do f 1 2ln 2 nên ta có . f 1 1 ln 2 C ln 2 1 ln 2 C C 1.
 2
 x 1
 Khi đó f x x ln x 1 1 .
 x
 3 3 3 3 3 3
 Vậy ta có f 2 2 ln 3 1 1 ln 3 ln 3 a , b .
 2 2 2 2 2 2
 2 2
 2 2 3 3 
 Suy ra 2 a b 2 9 .
 2 2 
Câu 5. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 0,x 0 và có đạo hàm 
 1
 f x liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn f x 2x 1 f 2 x ,x 0 và f 1 . Giá 
 2
 trị của biểu thức f 1 f 2 ... f 2020 bằng
 2020 2015 2019 2016
 A. . B. . C. . D. .
 2021 2019 2020 2021
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có:
 f x f x 1
 f x 2x 1 f 2 x 2x 1 dx 2x 1 dx x2 x C .
 f 2 x f 2 x f x 
 1 1 1 1
 Mà f 1 C 0 f x .
 2 x2 x x 1 x
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 x3 1
 Vậy y f x =e 3 3 . Do đó f 2 e3 .
Câu 8. (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ , f x 0 với mọi x và thỏa mãn 
 1 a
 f 1 , f x 2x 1 f 2 x .Biết f 1 f 2 ... f 2019 1 với 
 2 b
 a,b ¥ , a,b 1 .Khẳng định nào sau đây sai?
 A. a b 2019. B. ab 2019 . C. 2a b 2022 . D. b 2020 .
 Lời giải
 f x f x 
 f x 2x 1 f 2 x 2x 1 dx 2x 1 dx
 f 2 x f 2 x 
 d f x 
 2x 1 dx
 f 2 x 
 1
 x2 x C 1 (Với C là hằng số thực).
 f x 
 1 1 1
 Thay x 1 vào 1 được 2 C C 0 .Vậy f x .
 1
 x 1 x
 2
 1 1 1 1 1 1 1
 T f (1) f (2) ... f (2019) ... 1 .
 2 1 3 2 2020 2019 2020
 a 1
 Suy ra: a b 2019 (Chọn đáp số sai).
 b 2020
Câu 9. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên 0; 
 1
 thỏa mãn 2xf x f x 3x2 x . Biết f 1 . Tính f 4 ?
 2
 A. 24 . B. 14. C. 4 . D. 16.
 Lời giải
 Chọn D
 1 3
 Trên khoảng 0; ta có: 2xf ' x f x 3x2 x x f ' x x2 .
 2 x 2
 ' '
 3 2 3 2
 x. f x x x. f x dx x dx .
 2 2
 1
 x. f x x3 C . 
 2
 1 1 1 1 x2 x
 Mà f 1 nên từ có: 1. f 1 .13 C C C 0 f x .
 2 2 2 2 2
 42 4
 Vậy f 4 16 .
 2
Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x 0 với mọi x ¡ , f 0 1 và 
 f x x 1. f x với mọi x ¡ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 A. f x 2 B. 2 f x 4 C. f x 6 D. 4 f x 6
 Lời giải
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn 
 2 2 2
 xf x 1 x 1 f x . f x với mọi x dương. Biết f 1 f 1 1. Giá trị f 2 bằng
 A. f 2 2 2ln 2 2 . B. f 2 2 2ln 2 2 .
 C. f 2 2 ln 2 1. D. f 2 2 ln 2 1 .
 Lời giải
 2 2
 Ta có: xf x 1 x 1 f x . f " x ; x 0
 2 2 2
 x . f ' x 1 x 1 f x . f " x 
 2 1
 f ' x 1 f x . f " x 
 x2
 2 1
 f ' x f x . f " x 1 
 x2
 ' 1
 f x . f ' x 1 
 x2
 ' 1 1
 f x . f ' x .dx 1 .dx f x . f ' x x c .
 Do đó: 2 1
 x x
 Vì f 1 f ' 1 1 1 2 c1 c1 1.
 1 1 
 Nên f x . f ' x .dx x 1 .dx f x .d f x x 1 .dx
 x x 
 f 2 x x2 1 1
 ln x x c . Vì f 1 1 1 c c 1.
 2 2 2 2 2 2 2
 f 2 x x2
 Vậy ln x x 1 f 2 2 2ln 2 2 .
 2 2
Câu 14. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f (x) thỏa mãn ( f '(x))2 f (x). f ''(x) x3 2x, x R 
 và f (0) f '(0) 1. Tính giá trị của T f 2 (2)
 43 16 43 26
 A. B. C. D. 
 30 15 15 15
 Lời giải
 Có ( f '(x))2 f (x). f ''(x) x3 2x ( f (x). f '(x))' x3 2x
 1
 f (x). f '(x) (x3 2x)dx x4 x2 C
 4
 1
 Từ f (0) f '(0) 1. Suy ra C 1. Vậy f (x). f '(x) x4 x2 1
 4
 1 1
 Tiếp, có 2 f (x). f '(x) x4 2x2 2 ( f 2 (x))' x4 2x2 2
 2 2
 1 1 2
 f 2 (x) ( x4 2x2 2)dx x5 x3 2x C
 2 10 3
 1 2
 Từ f (0) 1. Suy ra C 1. Vậy f 2 (x) x5 x3 2x 1.
 10 3
 43
 Do đó T 
 15
 Trang 7