Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 24: Một số bài toán tổng hợp khối tròn xoay

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 24 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP KHỐI TRÒN XOAY
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI
Câu 1. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình nón N có đỉnh S , bán kính đáy bằng 3a và độ dài đường 
 sinh bằng 4a . Gọi T là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của N . Bán kính của T bằng
 2 10a 16 13a 8 13a
 A. . B. . C. . D. 13a .
 3 13 13
 Lời giải.
 Chọn C
 Cách 1.
 Nếu cắt mặt cầu ngoại tiếp khối nón N bởi mặt phẳng SAB , ta được mộ hình tròn ngoại tiếp 
 tam giác SAB . Khi đó bán kính mặt cầu T bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB .
 Gọi M là trung điểm của SB . Kẻ đường vuông góc với SB tại M , cắt SO tại I .
 Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và r SI là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB .
 SI SM SM
 Ta có: SIM ∽ SBO SI .SB .
 SB SO SO
 SM 2a
 8a 13
 Trong đó: SB 4a r SI .
 13
 2 2
 SO SB OB a 13
 Cách 2.
 Gọi O là tâm của mặt cầu T , H là tâm đường tròn đáy của N , M là một điểm trên đường 
 tròn đáy của N và R là bán kính của T .
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 2. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình nón N có đỉnh S , bán kính đáy bằng a và độ dài đường 
 sinh bằng 4a . Gọi T là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của N . Bán kính của T bằng
 2 6a 16 15a 8 15a
 A. . B. . C. . D. 15a .
 3 15 15
 Lời giải
 Chọn C
 S
 M
 I
 A O
 Gọi I là tâm của T thì I SO và IS IA . Gọi M là trung điểm của SA thì IM  SA .
 Ta có SO SA2 OA2 4a 2 a2 a 15 .
 SM.SA 2a.4a 8 15a
 Lại có SM.SA SI.SO SI .
 SO a 15 15
Câu 3. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho hình nón (N)có đỉnh S,bán kính đáy bằng 2a và độ dài đường 
 sinh bằng 4a .Gọi (T) là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của (N).Bán kính của (T) bằng
 4 2 4 14 8 14
 A. a . B. 14a . C. a . D. a .
 3 7 7
 Lời giải
 Chọn C
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1 a3
 V .ID2.CI .
 2 3 3
 5 a3
 Vậy V V V .
 1 2 3
Câu 6. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Một hình nón có chiều cao 9 cm nội tiếp trong một hình 
 V1
 cầu có bán kính 5 cm . Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối cầu. Tính tỉ số .
 V2
 81 81 27 27
 A. . B. . C. . D. .
 125 500 125 500
 Lời giải
Gọi hình cầu có tâm O bán kính R.
Gọi hình nón có đỉnh S, tâm đáy là H, bán kính đáy r HA.
Vì hình nón nội tiếp hình cầu nên đỉnh S thuộc hình cầu, chiều cao SH của hình nón đi qua tâm O của hình 
 cầu, đồng thời cắt hình cầu tại điểm S '.
Theo đề chiều cao hình nón SH 9 , bán kính hình cầu OS 5 OH 4 , từ đó ta có 
 HA OA2 OH 2 52 42 3 .
 1 1 1
Thể tích khối nón V h r 2 SH. .HA2 .9 32 27 .
 1 3 3 3
 4 4 500 
Thể tích khối cầu V R3 53 .
 2 3 3 3
 V 27 81
Tỉ số 1 .
 500 
 V2 500
 3
Câu 7. (Sở Ninh Bình 2019) Một khối gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 1, chiều cao bằng 2 . 
 Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn 
 lớn của mỗi nửa khối cầu. Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ ban đầu là
 2 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 4 3 2
 Lời giải
 Theo bài toán ta có hình vẽ
 2
 1
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 104 26
 A. cm2 B. 16cm2 C. 64cm2 D. cm2
 5 5
 Lời giải
 1 1 3 3
 r l . R R . Diện tích mặt cầu S 4 R2
 2 2 2 4 1
 3 3 9 27 R2
 Diện tích toàn phần của hình nón S rl r2 . R. R . R2 
 2 4 2 16 16
 27 R2 91 R2
 Theo giả thiết: 4 R2 91 91 R2 16
 16 16
 2 2
 Vậy S1 4 R 64cm
Câu 10. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, 
 đáy lớn CD = 3 , cạnh bên BC = DA = 2 . Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật 
 tròn xoay có thể tích bằng
 5 4 7 2
 A. p . B. p . C. p . D. p .
 3 3 3 3
 Lời giải
 Chọn C
 A 1 B
 2
 C
 D H 3
 Thể tích của khối tròn xoay bằng thể tích của hình trụ đường caoDC và bán kính đường tròn đáy 
 AH . AH = DH = 1
 Trừ đi thể tích hai khối nòn tròn xoay chiều cao DH bán kính đường tròn đáy AH
 Ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
 1 7
 V = 3.p.12 - 2. .1.p.12 = p
 3 3
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1
 Diện tích của nửa mặt cầu là S .4pR2 18p
 2 2
 2
 Diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật bằng S1 S2 9p 5 2 cm .
 4 3
Câu 13. (Sở Hà Nội 2019) Cho khối cầu S có bán kính R . Một khối trụ có thể tích bằng R3 và 
 9
 nội tiếp khối cầu S . Chiều cao của khối trụ bằng
 3 2 2 3
 A. R . B. R 2 . C. R . D. R
 3 2 3
 Lời giải
 Gọi r là bán kính của khối trụ và h là chiều cao của khối tru, khi đó ta có 
 2 2
 2 2 h 2 h
 r R R .
 2 4
 2
 2 2 h 
 Thể tích của khối trụ là V r h R h .
 4 
 4 3
 Theo đề bài thể tích khối trụ bằng R3 nên ta có phương trình
 9
 2 3
 4 3 3 2 h 3 2 3 h h 
 R R h 9h 36R h 16 3R 0 9 36 16 3 0
 9 4 R R 
 h 2 3 2 3
 h R .
 R 3 3
 2 3
 Vậy chiều cao khối trụ là h R .
 3
Câu 14. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF .
 E F
 a
  30
 A B
 a
 a
 D C
 10 5 10 
 A. a3. B. a3. C. a3. D. a3.
 7 3 2 9
 Trang 9