Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 21: Khối nón (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 21 KHỐI NÓN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI NÓN (CÁC BÀI TOÁN THỰC 
 TẾ - CỰC TRỊ)
 Lý thuyết – phương pháp chung
 MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Một số công thức:
 S ￿ Đường cao: h SO . ( SO ￿ Chu vi đáy: p 2 r .
 cũng được gọi là trục của hình 
 ￿ Diện tích đáy: S r 2 .
 nón). đ
 l h ￿ Bán kính đáy: 1 1 2
 l ￿ Thể tích: V h.Sđ h. r .
 l r OA OB OM . 3 3
 ￿ Đường sinh: (liên tưởng đến thể tích khối chóp).
 A B
 r O
 l SA SB SM . ￿ Diện tích xung quanh: Sxq rl .
 M
 ·
Hình thành: Quay vuông ￿ Góc ở đỉnh: ASB . ￿ Diện tích toàn phần: 
 2
 SOM quanh trục SO , ta được ￿ Thiết diện qua trục: SAB cân Stp Sxq Sđ rl r . 
mặt nón như hình bên với: tại S.
 h SO ￿ Góc giữa đường sinh và mặt 
 .
 r OM đáy: S· AO S· BO S·MO . 
 Câu 1. (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai khối nón có chung trục SS 3r . Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy 
 là hình tròn tâm S bán kính 2r . Khối nón thứ hai có đỉnh S , đáy là hình tròn tâm S bán kính r . 
 Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng
 4 r3 r3 4 r3 4 r3
 A. . B. . C. . D. .
 27 9 9 3
 Lời giải
 Chọn C
 Gọi P là mặt phẳng đi qua trục của hai khối nón và lần lượt cắt hai đường tròn S,r và 
 S ,2r theo đường kính AB,CD . Gọi M SC  S B, N SD  S A. Phần chung của 2 khối nón 
 đã cho gồm 2 khối nón chung đáy là hình tròn đường kính MN và đỉnh lần lượt là S, S .
 MN SN SN SA r 1 1 4r
 Ta có MN CD .
 CD SD SN ND SA S D 3r 3 3 3
 1 2
 Gọi I là giao điểm của MN và SS . Ta có SI SS r, S I SS 2r .
 3 3
 Do đó thể tích phần chung là
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 C
 H
 b
 a
 h
 c
 B
 A
 Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh BC, AH h .
 Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC ta thu được hình hợp bởi hai hình nón 
 tròn xoay có chung đáy bán kính bằng h , đường sinh lần lượt là b,c . Do đó Sa bh ch .
 Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC ta thu được hình nón tròn xoay có bán 
 2
 kính đáy bằng c, đường sinh bằng a , Sb ac c c a c .
 Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB ta thu được hình nón tròn xoay có bán 
 2
 kính đáy bằng b , đường sinh bằng a , Sc ab b b a b .
 ab ac
 Do b c nên S S .
 2 2 c b
 b c
 bc c b
 Ta có h S b2. c2. .
 a a a a
 c c c2 b
 Tam giác ABC vuông nên 1 b2 b2 ; 1 c2 ab .
 a a a2 a
 2
 Sa b ab b a b Sc . Do đó Sa Sc .
 Vậy Sb Sc Sa .
Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A , góc B· AC 120 và AB 4cm . Tính thể tích khối tròn xoay lớn 
 nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của tam giác ABC .
 16 16 
 A. 16 3 cm3 . B. 16 cm3 . C. cm3 . D. cm3 .
 3 3
 Lời giải
 Chọn B
 Trường hợp 1: Khối tròn xoay khi quay ABC quanh đường thẳng chứa AB (hoặc AC ) có thể 
 tích bằng hiệu thể tích của hai khối nón N1 và N2 .
 AK AC.cosCAK 4.cos60 2cm
 Dựng CK  BA tại K BK BA AK 4 2 6cm .
 CK AC.sin CAK 4.sin 60 2 3cm
 + N1 có h1 BK 6cm , r1 CK 2 3cm .
 + N2 có h2 AK 2cm , r2 CK 2 3cm .
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 2 6
 Vậy thể tích phễu lớn nhất khi x = .
 3
Câu 6. Một khối nón có thể tích bằng 9a3 2 . Tính bán kính R đáy khối nón khi diện tích xung quanh 
 nhỏ nhất.
 3a 3a
 A. R 3a . B. R . C. R 3 9a . D. R .
 6 2 3 2
 Lời giải
 Chọn A
 Gọi h,l lần lượt là chiều cao và độ dài đường sinh của khối nón.
 1 27a3 2 729a6
 V R2.h 9a3 2 h l R2 h2 R2 2.
 3 R2 R4
 729a6 729a6 729a6 729a6
 S .R.l R4 3 R4. . .
 xq R2 R2 R2 R2
 729a6
 S 9 a2 . Nên min S 9 a2 khi R4 R 3a .
 xq xq R2
Câu 7. (HSG Sở Nam Định 2019) Cho hai mặt phẳng P , Q song song với nhau và cùng cắt khối 
 cầu tâm O , bán kính R thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm 
 của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Tính khoảng cách h giữa hai mặt 
 phẳng P , Q để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất.
 2R 3
 A. h R . B. h R 2 . C. h . D. 2R 3 .
 3
 Lời giải
 Chọn C
 Cắt khối cầu tâm O , bán kính R bằng mặt phẳng đi qua tâm O và vuông góc với hai mặt 
 phẳng P , Q ta được hình như hình vẽ bên dưới.
 Trong đó, AB  P , CD  Q với AB CD , h SH AC BD , R OB .
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn A
 50
 Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy R 25 cm 0,25 m và 
 2
 đường cao h 30 cm 0,3 m .
 61
 Gọi l là chiều cao của hình nón l R2 h2 m .
 20
 61 61 2
 Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón lá là Sxq Rl .0,25. m 
 20 80
 61 25 61
 Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là S 1000. m2 
 80 2
 S
 Do đó khối lượng lá cần dùng là 50,03 kg .
 6,13
Câu 10. Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có 
 chiều cao 2dm ( mô tả như hình vẽ ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ 
 hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất 
 lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm . Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi 
 chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt phẳng của chất lỏng – lượng 
 chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm ).
 A. h 1,41dm . B. h 1,89dm . C. h 1,91dm . D. h 1,73dm .
 Lời giải
 Chọn C
 Gọi bán kính đáy, thể tích (phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2dm ) của khối nón 
 lần lượt là r ; V .
 Gọi bán kính đáy, thể tích (tính từ đỉnh của khối nón đến mặt phẳng của chất lỏng của ly thứ nhất 
 sau khi rót sang ly thứ hai ) của khối nón lần lượt là r1 ; V1 .
 Gọi bán kính đáy, chiều cao, thể tích (tính từ đỉnh của khối nón đến mặt phẳng của chất lỏng của 
 ly thứ hai ) của khối nón lần lượt là r2 ; h; V2 .
 2
 Ta có: Thể tích chất lỏng ban đầu là: V r 2.
 3
 Trang 7