Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 21: Khối nón (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 21 KHỐI NÓN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Lý thuyết chung
 MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Một số công thức:
 S ￿ Đường cao: h SO . ( SO cũng ￿ Chu vi đáy: p 2 r .
 được gọi là trục của hình nón).
 ￿ Diện tích đáy: S r 2 .
 ￿ Bán kính đáy: đ
 l h r OA OB OM . 1 1 2
 l ￿ Thể tích: V h.S h. r .
 l 3 đ 3
 ￿ Đường sinh: l SA SB SM .
 (liên tưởng đến thể tích khối chóp).
 A B
 r O ￿ Góc ở đỉnh: ·ASB .
 ￿ Diện tích xung quanh: Sxq rl .
 M ￿ Thiết diện qua trục: SAB cân 
Hình thành: Quay vuông tại S. ￿ Diện tích toàn phần: 
 2
 SOM quanh trục SO , ta được ￿ Góc giữa đường sinh và mặt Stp Sxq Sđ rl r . 
mặt nón như hình bên với:
 đáy: S· AO S· BO S·MO . 
 h SO
 .
 r OM
 Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
 Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và 
 AC 2a . Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo 
 thành một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó bằng
 A. 5 a2 . B. 5 a2 . C. 2 5 a2 . D. 10 a2 .
 Lời giải
 Chọn C
 BC AB2 AC 2 a 5 .
 Diện tích xung quanh hình nón cần tìm là S . AC.BC .2a.a 5 2 5 a2 .
 Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60 . Diện tích 
 xung quanh của hình nón đã cho bằng
 16 3 8 3 
 A. 8 . B. . C. . D. 16 .
 3 3
 Lời giải
 Chọn A
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 S
 300
 l
 O r B
 Ta có Góc ở đỉnh bằng 600 O· SB 300 .
 r 4
 Độ dài đường sinh: l 8 .
 sin 300 1
 2
 Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl .4.8 32 .
Câu 6. (Mã 123 2017) Cho một hình nón có chiều cao h a và bán kính đáy r 2a . Mặt phẳng (P) đi 
 qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của 
 đường tròn đáy đến (P).
 3a 5a 2a
 A. d B. d C. d D. d a
 2 5 2
 Lời giải
 Chọn C
 Có P  SAB .
 Ta có SO a h,OA OB r 2a, AB 2a 3 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M 
 là trung điểm AB , gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; SAB OK .
 Ta tính được OM OA2 MA2 a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra K là 
 SM a 2
 trung điểm của SM nên OK 
 2 2
Câu 7. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A và B là hai 
 a 3
 điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB bằng và 
 3
 S· AO 300 , S· AB 600 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 OA
 Độ dài đường sinh là l SA 2a .
 sin 30
 2
 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl .a.2a 2 a .
Câu 9. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a , vẽ tia Ax về phía điểm B 
 sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax , khi 
 tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện 
 tích xung quanh bằng:
 2 2 2
 3 2 a2 3 3 a 1 3 a 2 2 a
 A. . B. . C. . D. .
 2 2 2 2
 Lời giải
 A
 H I
 x
 B
 Xét tam giác AHB vuông tại H . Ta có AH = AB2 HB2 a 3
 AH.HB a 3.a a 3
 Xét tam giác AHB vuông tại H , HI  AB tại I ta có HI = 
 AB 2a 2
 Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có 
 diện tích xung quanh là S ) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2).
 Trong đó:
 (N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là 
 a 3 3 a2
 S = π.HI.AH = . .a 3 
 1 2 2
 (N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là 
 a 3 3 a2
 S = π.HI.BH = . .a 
 2 2 2
 2
 3 a2 3 a2 3 3 a
 S = S + S .
 1 2 2 2 2
Câu 10. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình nón có chiều cao h 20 , bán kính đáy r 25 . Một thiết diện đi 
 qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính 
 diện tích S của thiết diện đó.
 A. S 500 B. S 400 C. S 300 D. S 406
 Lời giải
 Giả sử hình nón đỉnh S , tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là SAB 
 (hình vẽ).
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 SO 2 6 · 6
 Trong tam giác SIO vuông tại O có SI = = a và OI = SI .cosSIO = a
 sinS·IO 3 3
 4 3
 Mà BC = 2 r 2 - OI 2 = a
 3
 1 4a2 2
 Diện tích tam giác SBC là S = SI .BC =
 2 3
Câu 12. (Sở Hà Nội 2019) Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng 
 P đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy 
 bằng 2 . Diện tích của thiết diện bằng.
 A. 6 . B. 19 . C. 2 6 . D. 2 3 .
 Lời giải
 Ta có: h OI 4, R IA IB 3, AB 2 .
 Gọi M là trung điểm AB MI  AB AB  SMI AB  SM .
 Lại có: SB OI 2 IB2 42 32 5; SM SB2 MB2 52 12 2 6 .
 1 1
 Vậy: S .SM.AB .2 6.2 2 6 .
 SAB 2 2
Câu 13. (Chuyên Hạ Long 2019) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết 
 diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình nón.
 A. 4a2 (đvdt). B. 4 2a2 (đvdt). C. a2 2 1 (đvdt). D. 2 2a2 (đvdt).
 Lời giải
 Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh l , bán kính đáy là R .
 Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và OA a 2 .
 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông cân OAB ta có:
 AB2 OA2 OB2 4a2 AB 2a .
 Vậy: l a 2, R a .
 Diện tích toàn phần của hình nón là:
 2 2
 STP Sxq S§¸ y Rl R a 2 1 (đvdt).
Câu 14. (Chuyên KHTN 2019) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Tính diện tích toàn 
 phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'.
 Trang 7