Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 20: Bất phương trình mũ, logarit (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 20 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
 DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 1. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a là số thực dương, a 1. Biết bất phương trình 
 2loga x x 1 nghiệm đúng với mọi x 0 . Số a thuộc tập hợp nào sau đây?
 A. 7;8 B. 3;5 C. 2;3 D. 8; 
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có: với x 1 thì 2loga 1 0 1 1
 Ta sẽ tìm a để đường thẳng y x 1 nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2loga x tại điểm 
 x 1
 2 2
 Có y y 1 
 x lna ln a
 2
 Phương trình tiếp tuyến y x 1 
 ln a
 Vậy để đường thẳng y x 1 nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2loga x thì 
 2
 1 ln a 2 a e2
 ln a
 2log 2 x x 1 ln x x 1
 Thử lại a e2 ta sẽ chứng minh e
 f x ln x x 1 0 x 0
 1 1 x
 Có f x 1 f x 0 x 1
 x x
 Bảng biến thiên
 Từ bảng biến thiên suy ra f x 0 ln x x 1 x 0
Câu 2. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 
 3
 3log3 1 a a 2log2 a . Giá trị của log2 2017a xấp xỉ bằng:
 A. 19. B. 26 . C. 25 . D. 23.
 Lời giải
 3
 Từ giả thiết 3log3 1 a a 2log2 a .
 x
 Đặt log2 a 3x a 64 .
 x x x x x
 Ta được bất phương trình: 3log3 1 8 4 6x 1 8 4 9 .
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Xét 7 m x2 4x 7 m 0 1 .
 + Khi m 7 ta có 1 trở thành 4x 0 x 0 . Do đó m 7 không thỏa mãn.
 + Khi m 7 ta có 1 đúng với mọi x ¡
 7 m 0 m 7 m 7
 2 m 5 .
 ' 0 4 7 m 0 m 5 m 9
 Xét mx2 4x m 0 2 .
 + Khi m 0 ta có 2 trở thành 4x 0 x 0. Do đó m 0 không thỏa mãn.
 + Khi m 0 ta có 2 đúng với mọi x ¡
 m 0 m 0 m 0
 2 m 2 .
 ' 0 4 m 0 m 2  m 2
 Từ và ta có 2 m 5 . Do m Z nên m 3;4;5 . Từ đó S 3 4 5 12 .
Câu 5. (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 
 2 2
 log2 7x 7 log2 mx 4x m nghiệm đúng với mọi x .
 A. 5 B. 4 C. 0 D. 3
 Lời giải
 Chọn D
 Cách 1:
 7x2 7 mx2 4x m
 Bpt: log 7x2 7 log mx2 4x m 
 2 2 2
 mx 4x m 0
 2
 f x m 7 x 4x m 7 0
 2
 g x mx 4x m 0
 f x 0 , x ¡
 Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x ¡ 
 g x 0 , x ¡
  Trường hợp 1: m 7
 f x 0 4x 0
 2
 g x 0 7x 4x 7 0
 Vậy m 7 không thỏa yêu cầu bài toán.
  Trường hợp 2: m 0
 f x 0 7x2 4x 7 0
 g x 0 4x 0
 Vậy m 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
  Trường hợp 3: m 0; m 7
 a f 0 m 7 0 m 7
 2 
 f x 0, x ¡ f 0 4 m 7 0 m 5 m 9
 Khi đó: 2 m 5
 a 0 m 0 
 g x 0, x ¡ g m 0 
 2 m 2  m 2
 g 0 4 m 0 
 Do m ¢ nên m 3;4;5 .
 Cách 2:
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Dựa vào bảng biến thiên và đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn m Î ¡ .
Câu 7. (THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương 
 2 2
 trình log2 x mx m 2 log2 x 2 nghiệm đúng với mọi x ¡ .
 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.
 Lời giải
 Chọn D
 Ta thấy x2 2 0 x ¡
 Do đó bất phương trình 
 2 2 2 2
 log2 x mx m 2 log2 x 2 x mx m 2 x 2 mx m 0 .
 2 2
 Bất phương trình log2 x mx m 2 log2 x 2 nghiệm đúng với mọi x ¡ khi và chỉ khi 
 mx m 0 x ¡ m 0
Câu 8. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp 
 2 2 2
 số x; y thỏa mãn log 2 2 4x 4y 6 m 1 và x y 2x 4y 1 0 .
 x y 2 
 A. S 5; 1;1;5 . B. S 1;1.
 C. S 5;5 . D. S 7 5; 1;1;5;7.
 Lời giải
 Chọn A
 y
 2 m
 I J
 -3 -1 O 1 2 x
 Nhận thấy x2 y2 2 1 với mọi x, y ¡ nên:
 log 4x 4y 6 m2 1 4x 4y 6 m2 x2 y2 2 
 x2 y2 2 
 x2 y2 4x 4y 8 m2 0 x 2 2 y 2 2 m2 (*).
 x 2
 Khi m 0 thì (*) . Cặp 2;2 không là nghiệm của phương trình 
 y 2
 x2 y2 2x 4y 1 0 .
 Khi m 0 , tập hợp các điểm x; y thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J 2;2 , bán kính là m . 
 Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường tròn tâm I 1;2 , bán kính 2 và 
 hình tròn tâm J 2;2 , bán kính m có đúng một điểm chung (hình vẽ)
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Đặt f x m2 x5 x4 m x4 x3 x ln x 1. Ta có f x liên tục, có đạo hàm trên 
 1
 0; và f x m2 5x4 4x3 m 4x3 3x2 1 .
 x
 Bất phương trình đã cho viết thành f x 0 . Giả sử y f x có đồ thị là (C).
 f x 0 với mọi x 0 khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.
 Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A 1;0 . Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía 
 dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A 1;0 .
 2 m 0
 Suy ra, f ' 1 0 m m .
 m 1
 Với m 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành f x x ln x 1 0 .
 f x 0 x 1.
 Bảng biến thiên của hàm số f x 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 0,x 0. Suy ra m 0 thỏa mãn điều kiện.
 Với m 1 ta có bất phương trình đã cho trở thành f x x5 2x4 x3 ln x x 1 0 .
 4 3
 1 5x5 8x4 3x3 x 1 x 1 5x 3 x 1 
 f x 5x4 8x3 3x2 1 
 x x x
 2 2 2
 4 3 2 3 2 9 9 
 Ta có 5x 3x 1 2 x x x 1 0.
 4 32 32 
 Suy ra f x 0 x 1. Bảng biến thiên của hàm số f x như sau
 Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 0,x 0. Suy ra m 1 thỏa mãn điều kiện.
Vậy S 0;1 .
 2 2
Câu 11. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình log7 x 2x 2 1 log7 x 6x 5 m . 
 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ?
 A. 36 . B. 34 . C. 35 . D. Vô số.
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có:
 Trang 7