Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 2: Cực trị hàm số (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
 Bài toán: Đồ thị hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực trị
 2 f (x). f (x)
 (Áp dụng định nghĩa). y f (x) f 2 (x) y 
 f 2 (x)
 f (x) 0 1 
 y 0 
 f (x) 0 2 
 Số nghiệm của 1 chính là số giao điểm của đồ thị y f (x) và trục hoành y 0. Còn số nghiệm 
 của 2 là số cực trị của hàm số y f (x) , dựa vào đồ thị suy ra 2 . Vậy tổng số nghiệm bội lẻ 
 của 1 và 2 chính là số cực trị cần tìm.
 Dạng toán này mình làm tựa theo đề tham khảo 2018, vẫn xuất hiện ở dạng toán hàm hợp, các 
 bạn học chú ý nhé!
Câu 1. (Chuyên Vinh – Lần 2). Đồ thị C có hình vẽ bên.
 Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị là:
 A. m 1 hoặc m 3 . B. m 3 hoặc m 1.C. m 1 hoặc m 3 . D. 1 m 3.
 Giải
 Cách 1:
 Do y f x m là hàm số bậc ba
 Khi đó, hàm số y f x m có ba điểm cực trị
 hàm số y f x m có yCD.yCT 0
 (hình minh họa)
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Do hàm số f x có ba điểm cực trị nên hàm số y f x có 7 điểm cực trị khi
 m 0
 Phương trình f x 0 có 4 nghiệm 0 m 5 .
 m 5 0
 Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là m 1;m 2;m 3;m 4 .
Câu 3. (Gia Bình 2019) Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau.
 Hàm số y f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị
 A. 5 B. 6 C. 3 D. 1
 Lời giải
 Chọn C
 y f x 3 1 , Đặt t | x 3|,t 0 Thì (1) trở thành: y f (t)(t 0)
 x 3
 Có t (x 3)2 t ' 
 (x 3)2
 Có yx tx f (t)
 x 3 x 3
 t 0
 y 0 t f (t) 0 x t 2(L) x 7
 x x 
 f (t) 0
 t 4 x 1
 Lấy x=8 có t '(8) f '(5) 0, đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên:
 Dựa vào BBT thì hàm số y f x 3 có 3 cực trị.
Câu 4. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 
 y = x4 - 2mx2 + 2m2 + m- 12 có bảy điểm cực trị
 A. 1. B. 4 . C. 0 . D. 2 .
 Lời giải
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn C
 Đặt: g(x) 3x4 4x3 12x2 m
 x 2 y m 32
 3 2 
 Ta có: g '(x) 12x 12x 24x 0 x 1 y m 5
 x 0 y m
 m 0
 m 0
 Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có y g(x) có 5 điểm cực trị khi m 5 0 . 
 5 m 32
 m 32 0
 Vì m là số nguyên dương cho nên có 26 số m thỏa đề bài
Câu 7. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 với m là tham số 
 thực. Số giá trị nguyên trong khoảng  2;2 của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là
 A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
 Lời giải
 Chọn B
 x 0
 Đặt f x x4 2mx2 2m 1, f x 4x3 4mx , f x 0
 2
 x m
 + Trường hợp 1: hàm số có một cực trị m  2;0 .
 Đồ thị hàm số y f x có một điểm cực trị là A 0;2m 1 .
 Do m  2;0 yA 2m 1 0 nên đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt 
 nên hàm số y f x có 3 cực trị có 3 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
 + Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị m 0;2 .
 Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A 0;2m 1 , B m; m2 2m 1 , 
 C m; m2 2m 1 .
 Do a 1 0 nên hàm số y f x có 3 điểm cực trị khi hàm số y f x có yB yC 0
 m2 2m 1 0 m 1.
 Nếu yB yC 0 (trong bài toán này không xảy ra) thì hàm số có ít nhất 5 điểm cực trị.
 Vậy có 4 giá trị của m thỏa ycbt.
Câu 8. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y 3x4 4x3 12x2 m 1 có 
 7 điểm cực trị là:
 A. (0;6) B. (6;33) C. (1;33) D. (1;6)
 Lời giải
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1 m có 5 
điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
A. 9 . B. 12. C. 18. D. 15.
 Lời giải
Nhận xét: Số giao điểm của C : y f x với Ox bằng số giao điểm của C : y f x 1 với 
Ox .
Vì m 0 nên C : y f x 1 m có được bằng cách tịnh tiến C : y f x 1 lên trên m 
đơn vị.
TH1: 0 m 3. Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị. Loại.
TH2: m 3 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.
TH3: 3 m 6 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.
TH4: m 6 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại.
Vậy 3 m 6 . Do m ¢ * nên m 3;4;5 .
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Hàm số y x3 3x2 m có 5 điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x2 m có hai điểm cực 
 trị và nằm về hai phía của trục hoành phương trình x3 3x2 m 0 1 có ba nghiệm phân 
 biệt.
 Xét bbt của hàm số y x3 3x2
 2 x 0
 y 3x 6x 0 
 x 2
 Từ đó ta được 1 có ba nghiệm phân biệt 4 m 0 0 m 4. Vậy có 3 giá trị nguyên 
 của m thỏa mãn.
Câu 14. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 
 m để hàm số y 3x5 25x3 60x m có 7 điểm cực trị?
 A. 42 . B. 21. C. 40 . D. 20 .
 Lời giải
 y 3x5 25x3 60x m
 y 15x4 75x2 60
 x 2 y m 16
 x2 1 x 1 y m 38
 y 0 
 2
 x 4 x 1 y m 38
 x 2 y m 16
 Suy ra y 3x5 25x3 60x m có 7 điểm cực trị 
 m 38 0 m 16 16 m 38 m 17,37
 m 16 0 m 38 38 m 16 m 37, 17
 Có tất cả 42 giá trị nguyên của m.
Câu 15. (Sở Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ
 Trang 9 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
- Nhận thấy: số giao điểm của C : y f x với Ox bằng số giao điểm của C1 : y f x 2 
với Ox .
Vì m 0 nên C2 : y f x 2 m có được bằng cách tịnh tiến C1 : y f x 2 lên trên m 
đơn vị.
- Đồ thị hàm số y f x 2 m có được bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành Ox phần đồ 
thị C2 nằm phía dưới trục Ox và giữ nguyên phần phía trên trục Ox .
- Ta xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: 0 m 3: đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại).
+ Trường hợp 2: m 3 : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn).
+ Trường hợp 3: 3 m 6 : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn).
+ Trường hợp 4: m 6 : đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại).
Vậy 3 m 6 Do m ¢ nên m 3;4;5 hay S 3;4;5 .
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12.
* Cách 2: đạo hàm hàm số hợp.
 2 f x 2 m . f x 2 
- Ta có: y f x 2 m f x 2 m y 
 2
 f x 2 m 
- Xét f x 2 0 1 
 + Do phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình f x 2 0 cũng có 
3 nghiệm phân biệt.
- Xét f x 2 m 0 f x 2 m 2 
 + Nếu 6 m 3 3 m 6 thì phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 3 
nghiệm của 1 .
 + Nếu m 3 m 3 thì 2 có 3 nghiệm phân biệt (trong đó có 2 nghiệm đơn khác 3 
nghiệm của 1 và 1 nghiệm kép trùng với 1 nghiệm của 1 )
Tóm lại : với 3 m 6 thì hai phương trình 1 và 2 có tất cả 5 nghiệm bội lẻ phân biệt và y 
đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, hay đồ thị hàm số y f x 2 m có 5 điểm cực trị.
- Lại do m ¢ nên m 3;4;5 hay S 3;4;5 .
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12.
 Trang 11