Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 19: Phương trình mũ, logarit (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 19 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 9-10 ĐIỂM
 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tìm m để f x,m 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D ?
— Bước 1. Tách m ra khỏi biến số và đưa về dạng f x A m .
— Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D.
— Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số A m để đường thẳng y A m nằm 
 ngang cắt đồ thị hàm số y f x .
— Bước 4. Kết luận các giá trị cần tìm của A m để phương trình f x A m có nghiệm (hoặc có k 
 nghiệm) trên D.
 Lưu ý
— Nếu hàm số y f x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A m cần tìm là những m 
 thỏa mãn: min f x A m max f x .
 x D x D
— Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến 
 thiên để xác định sao cho đường thẳng y A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x tại k điểm 
 phân biệt.
 Dạng 1. Phương trình logarit chứa tham số
 2
Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình log2 2x m 2 log2 x m 2 0 ( m là tham 
 số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 
 đoạn 1;2 là
 A. 1; 2 . B. 1;2. C. 1;2 . D. 2; .
 Lời giải
 Chọn C
 2 2
 log2 2x m 2 log2 x m 2 0 1 log x m 2 log2 x m 2 0 * 
 Đặt t log2 x g x 0 t 1 và mỗi giá trị của x sẽ cho một giá trị của t
 2
 * trở thành 1 t m 2 t m 2 0
 t 2 2t 1 mt 2t m 2 0
 t 2 1 m t 1 
 t 1 t 1 m 0
 t m 1 1 
 t 1 2 
 Với t 1 thì phương trình có một nghiệm x 2
 Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình 1 phải có một nghiệm 
 t 1
 0 m 1 1 1 m 2
 Vậy m 1;2 để thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số 
 2 2 . Số các giá trị nguyên của m để 
 3log27 2x m 3 x 1 m log1 x x 1 3m 0
 3
 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 15 là:
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
 1
 +) Với m 6 , phương trình (1) có nghiệm x 
 6 m
 1 1 1 1 m
 0 0 0 m 6 .
 6 m 6 6 m 6 6 m
 Vậy 0 m 6 . Mà m ¢ m 1;2;3;4;5 . Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
 2
Câu 5. (Mã 103 2019) Cho phương trình log9 x log3 5x 1 log3 m ( m là tham số thực). Có tất cả 
 bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
 A. 4. B. 6. C. Vô số. D. 5.
 Lời giải
 Chọn A
 1
 x 
 Điều kiện: 5 .
 m 0
 2
 Xét phương trình: log9 x log3 5x 1 log3 m 1 .
 Cách 1.
 5x 1 5x 1 1
 1 log x log 5x 1 log m log log m m 5 m 2 .
 3 3 3 3 x 3 x x
 1 1 
 Xét f x 5 trên khoảng ; .
 x 5 
 1 1 1 
 Có f x 2 0, x ; và lim f x lim 5 5 .
 x 5 x x x 
 Ta có bảng biến thiên của hàm số f x :
 1
 Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ phương trình 2 có nghiệm x .
 5
 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 5 .
 Mà m ¢ và m 0 nên m 1;2;3;4 .
 Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
 Cách 2.
 1
 x 
 Với 5 , ta có:
 m 0
 5x 1 5x 1
 1 log x log 5x 1 log m log log m m 5 m x 1 2 
 3 3 3 3 x 3 x
 Với m 5, phương trình 2 thành 0.x 1 (vô nghiệm).
 1
 Với m 5 , 2 x .
 5 m
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 8. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho phương trình 
 log x2 6x 12 log x 2
 mx 5 mx 5 , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m ¢ để 
 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S .
 A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1.
 Lời giải
 x 2 0 x 2
 + Điều kiện 
 0 mx 5 1 5 mx 6
 log x2 6x 12 log x 2 *
 Với điều kiện trên, phương trình mx 5 mx 5 
 2
 logmx 5 x 6x 12 logmx 5 x 2 
 2 x 2
 x 6x 12 x 2 .
 x 5
 5 m 4
 x 2 là nghiệm phương trình * khi 5 2m 6 m 3, vì m Z .
 2 m Z
 6 m 2
 x 5 là nghiệm phương trình * khi 5 5m 6 1 m , vì m Z .
 5 m Z
 log x2 6x 12 log x 2
 + Phương trình mx 5 mx 5 có nghiệm duy nhất khi m 2 hoặc m 3
 Thử lại
 log x2 6x 12 log x 2 log x2 6x 12 log x 2
 m 2 : 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5 
 x2 6x 12 x 2
 x 2 0 x 5 .
 0 2x 5 1
 log x2 6x 12 log x 2 log x2 6x 12 log x 2
 m 3 : 3x 5 3x 5 3x 5 3x 5 
 x2 6x 12 x 2
 x 2 0 x 5 .
 0 4x 5 1
 Vậy có hai giá trị m Z thỏa mãn ycbt.
Câu 9. Cho phương trình log 2x2 x 4m2 2m log x2 mx 2m2 0 . Hỏi có bao nhiêu 
 2 5 5 2
 2 2
 giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 x2 3?
 A. 1 B. 0 C. 3 D. 4
 Lời giải
 Chọn B
 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
 log 2x2 x 4m2 2m log x2 mx 2m2 0
 2 5 5 2 
 log 2x2 x 4m2 2m log x2 mx 2m2 0
 5 2 5 2 
 2 2
 x2 2mx 2m2 0 x 2mx 2m 0
 2 2 2 2 2 2
 2x x 2m 4m x mx 2m x m 1 x 2m 2m 0
 x2 mx 2m2 0
 x1 2m
 x2 1 m
 2 2
 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 x2 3
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
 2
 m 1 2log2 x 2 4 m 5 log2 x 2 4m 4 0
 2
 4 m 1 log2 x 2 4 m 5 log2 x 2 4m 4 0
 2
 m 1 log2 x 2 m 5 log2 x 2 m 1 0. (1)
 5 
 Đặt t log2 x 2 . Vì x ;4 t  1;1.
 2 
 Phương trình (1) trở thành m 1 t 2 m 5 t m 1 0 , t  1;1. (2)
 t 2 5t 1
 m f t ,t  1;1.
 t 2 t 1
 4t 2 4 t 2
 Ta có f ' t 2 0 .
 t 2 t 1 t 2
 Bảng biến thiên
 5 
 Phương trình đã cho có nghiệm x ;4 khi phương trình (2) có nghiệm t  1;1.
 2 
 7
 Từ bảng biến thiên suy ra 3 m .
 3
 2 2
Câu 12. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm m để phương trình log2 x log2 x 3 m có nghiệm x [1;8] .
 A. 6 m 9 B. 2 m 3 C. 2 m 6 D. 3 m 6
 Lời giải
 Chọn C
 2 2
 log2 x log2 x 3 m (1)
  Điều kiện: x 0 (*)
 2
 pt (1) log2 x 2log2 x 3 m
 Cách 1: (Tự luận)
  Đặt t log2 x , với x [1;8] thì t [0;3].
 Phương trình trở thành: t 2 2t 3 m (2)
  Để phương trình (1) có nghiệm x [1;8]
 phương trình (2) có nghiệm t [0;3]
 min f (t) m max f (t) , trong đó f (t) t 2 2t 3
 [0;3] [0;3]
 2 m 6 . (bấm máy tính)
 2
Câu 13. (HSG Bắc Ninh-2019) Cho phương trình log2 x 2log2 x m log2 x m * . Có bao nhiêu 
 giá trị nguyên của tham số m  2019;2019 để phương trình (*) có nghiệm?
 A. 2021. B. 2019 . C. 4038 . D. 2020 .
 Lời giải
 x 0
 Điều kiện: . 
 m log2 x 0
 2 2
 log2 x 2log2 x m log2 x m 4log2 x 8log2 x 4 m log2 x 4m
 Trang 7