Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 17: Công thức, biến đổi logarit (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 17 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 Dạng. Một số bài toán KHÓ
 Công thức logarit:
 Cho các số a, b 0, a 1 và m, n ¡ . Ta có:
▪ loga b a b ▪ lgb logb log10 b ▪ lnb loge b
 n
▪ loga 1 0 ▪ loga a 1 ▪ loga a n
 1 n
▪ log b log b ▪ log bn nlog b ▪ log bn log b
 am m a a a am m a
 log b
 b a a b
▪ log (bc) log b log c ▪ log log b log c ▪ 
 a a a a a a log c log a
 c a b c b
▪ loga b.logb c loga c , loga c 1
 ▪ logb c , b 1 ▪ loga b , b 1 
 b 1 loga b logb a
 Câu 1. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho các số thực a , b thỏa mãn a b 1 và 
 1 1 1 1
 2020 . Giá trị của biểu thức P bằng
 logb a loga b logab b logab a
 A. 2014 . B. 2016 . C. 2018 . D. 2020 .
 Lời giải
 Chọn B
 Do a b 1 nên loga b 0 , logb a 0 và logb a loga b .
 1 1
 Ta có: 2020
 logb a loga b
 logb a loga b 2020
 2 2
 logb a loga b 2 2020
 2 2
 logb a loga b 2018 (*)
 Khi đó, P logb ab loga ab logb a logb b loga a loga b logb a loga b
 2 2 2 2
 Suy ra: P logb a loga b logb a loga b 2 2018 2 2016 P 2016
 Câu 2. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ 2019) Tìm số nguyên dương n sao cho
 log 2019 22 log 2019 32 log 2019 ... n2 log 2019 10102.20212 log 2019
 2018 2018 3 2018 n 2018 2018
 A. n 2021. B. n 2019 . C. n 2020 . D. n 2018. .
 Lời giải
 log 2019 22 log 2019 32 log 2019 ... n2 log 2019 10102.20212 log 2019
 2018 2018 3 2018 n 2018 2018
 3 3 3 2 2
 log2018 2019 2 log2018 2019 3 log2018 2019 ... n log2018 2019 1010 .2021 log2018 2019
 3 3 3 2 2
 1 2 3 ... n log2018 2019 1010 .2021 log2018 2019
 1 23 33 ... n3 10102.20212
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. 52 . B. 60 . C. 60 . D. 52 .
 Lời giải
 Chọn C
 1
 log w 24 log x 
 x w 24
 1
 log w 40 log y .
 y w 40
 Lại do
 1 1 1
 log w 12 12 12 12
 xyz log xyz log x log y log z log x log y log z
 w w w w w w w
 1 1
 12 log z log w 60 .
 1 1 w z
 log z 60
 24 40 w
Câu 6. Cho f (1)= 1, f (m + n)= f (m)+ f (n)+ mn với mọi m,n Î ¥ * . Tính giá trị của biểu thức 
 éf (96)- f (69)- 241ù
 T = log ê ú.
 ê ú
 ë 2 û
 A. T = 9 . B. T = 3. C. T = 10 . D. T = 4 .
 Lời giải
 Chọn B
 Có f (1)= 1, f (m + n)= f (m)+ f (n)+ mn
 Þ
 f (96)= f (95+ 1)= f (95)+ f (1)+ 95 = f (95)+ 96 = f (94)+ 95+ 96 = ...= f (1)+ 2+ ...+ 95+ 96
 96.97
 Þ f (96)= 1+ 2+ ...+ 95+ 96 = = 4656 .
 2
 69.70
 Tương tự f (69)= 1+ 2+ ...+ 68+ 69 = = 2415 .
 2
 Vậy = 푙표 (96) (69) 241 = 푙표 4656 2415 241 = 푙표 1000 = 3.
 2 2
Câu 7. (Chuyên Lê Quý Dôn Quảng Trị 2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn đồng thời 
 1 1 1 1
 và log2 (xyz) 2020 . Tính log2 xyz x y z xy yz zx 1 
 log2 x log2 y log2 z 2020
 A. 4040 . B. 1010. C. 2020. D. 20202 .
 Lời giải
 Chọn A
 Đặt a log2 x;b log2 y;c log2 z .
 1 1 1 1
 Ta có và a b c 2020
 a b c 2020
 1 1 1 
 a b c 1 a b c ab ac bc abc
 a b c 
 a2b ab2 abc abc b2c bc2 a2c ac2 0
 a b b c c a 0
 Vì vai trò a,b,c như nhau nên giả sử a b 0 c 2020 z 22020 và xy 1.
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1 1 1 1 190
 ... 
 log x log x log x log x log x
 3 32 33 3n 3
 log x 3 2log x 3 3log x 3 ... nlog x 3 190log x 3
 log x 3 1 2 3 ... n 190log x 3
 1 2 3 ... n 190
 n n 1 
 190
 2
 n2 n 380 0
 n 19
 n 19 (do n nguyên dương) P 2n 3 41
 n 20
 y log y log z
Câu 11. Cho x , , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; loga x , a , 3 a lập thành cấp 
 9x y 3z
 số cộng, với a là số thực dương khác 1. Giá trị của p là
 y z x
 A. 13. B. 3. C. 12. D. 10.
 Lời giải
 Chọn A
 x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có xz y2 (1).
 log y log z
 loga x , a , 3 a lập thành cấp số cộng nên:
 log x log z 2log y 3 4
 a 3 a a loga x 3loga z 4loga y xz y (2).
 Từ (1) và (2) ta suy ra x y z .
 9x y 3z
 Vậy p 9 1 3 13.
 y z x
 *
Câu 12. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho f (1) 1; f (m n) f (m) f (n) mn với mọi m,n N . 
 Tính giá trị của biểu thức
 f 2019 f 2009 145 
 T log 
 2 
 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 10.
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có f (2019) f (2009 10) f (2009) f (10) 20090
 Do đó f (2019) f (2009) 145 f (10) 20090 145
 f (10) f (9) f (1) 9
 f (9) f (8) f (1) 8
 ...................
 f (3) f (2) f (1) 2
 f (2) f (1) f (1) 1
 Từ đó cộng vế với vế ta được: f (10) 10. f (1) 1 2 .... 8 9 55.
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. (2;6;4) . B. (1;3;2) . C. (2;4;4) . D. (2;4;3) .
 Lời giải
 Ta có
 log1 log(1 3) log(1 3 5) ... log(1 3 5 ... 19) 2log5040 a blog 2 c log3
 log1 log 22 log32 ... log102 2log5040 a blog 2 c log3
 log 1.22.32.102 2log5040 a blog 2 c log3
 log 1.2.3.10 2 2log5040 a blog 2 c log3
 2log 1.2.3.10 2log5040 a blog 2 c log3
 2 log10! log 7! a blog 2 c log3 2log 8.9.10 a blog 2 c log3
 2 6log 2 4log3 a blog 2 c log3.
 Vậy a 2 , b 6 , c 4 .
Câu 17. (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Tổng S 1 22 log 2 32 log 2 .... 20182 log 2 
 2 3 2 2018 2
 dưới đây.
 A. 10082.20182 . B. 10092.20192 . C. 10092.20182 . D. 20192 .
 Lời giải
 2
 n n 1 
 Ta có 13 23 33 ... n3 .
 4
 Mặt khác
 S 1 22 log 2 32 log 2 .... 20182 log 2 2 2 2
 2 3 2 2018 2 1 2 log 1 2 3 log 1 2 .... 2018 log 1 2
 22 23 22018
 2
 3 3 3 3 3 3 2018 2018 1 
 1 2 log2 2 3 log2 2 .... 2018 log2 2 1 2 3 ... 2018 
 2 
 10092.20192 .
Câu 18. (ChuyêN KHTN - 2018) Số 2017201820162017 có bao nhiêu chữ số?
 A. 147278481. B. 147278480. C. 147347190. D. 147347191.
 Lời giải
 Số chữ số của một số tự nhiên x là: log x 1 (log x là phần nguyên của log x ).
 Vậy số chữ số của số 2017201820162017 là
 20162017
 log 20172018 1 20162017log 20172018 1 147278481.
 Trang 7