Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 15: Bài toán cực trị thể tích khối đa diện (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 15 BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Câu 1. (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6,7m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình 
 hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng 
 kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
 A. 1,23m3 B. 2,48m3 C. 1,57m3 D. 1,11m3
 Lời giải
 Chọn C
 Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x
 6,7 2x2
 Do diện tích đáy và các mặt bên là 6,7m2 nên có chiều cao h ,
 6x
 6,7
 ta có h 0 nên x .
 2
 6,7x 2x3 6,7 6x2 6,7
 Thể tích bể cá là V x và V x 0 x 
 3 3 6
 Bảng biến thiên
 Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 1,57m3 .
Câu 2. (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5,5 m2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ 
 nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá 
 có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?:
 A. 1,40 m3 B. 1,01 m3 C. 1,51 m3 D. 1,17 m3
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi x,2x,h lần lượt là chiều rộng, dài, cao của bể cá.
 5,5 2x2 5,5
 Ta có 2x2 2 xh 2xh 5,5 h ( Điều kiện 0 x ).
 6x 2
 5,5 2x2 1
 Thể tích bể cá V 2x2. (5,5x 2x3 ) .
 6x 3
 1 5,5
 V / (5,5 6x2 ) .V / 0 x .
 3 6
 11 33
 Lập BBT suy ra V 1,17 m3 .
 max 54
Câu 3. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng một bể bơi có dạng hình hộp chữ 
 nhật có thể tích là 125m3 . Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Tính 
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A
 2 3
 N
 x
 2 3
 2 3
 B C
 2 3 M 2 3
 D
 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB .
 CD  MB CD  MN
 Ta có  CD  MAB .
 CD  MA CD  AB
 Tam giác MAB cân tại M nên MN  AB .
 1 1
 V AB.CD.d AB,CD .sin AB,CD x.2 3.MN.sin 90
 ABCD 6 6
 2 x2 36 x2 
 1 2 x 3 2 3 
 x.2 3. 3 x. 36 x . 3 3 .
 6 2 6 6 2
 Dấu " " xảy ra x 36 x2 x 3 2 .
Câu 6. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc 
 với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi là góc giữa hai mặt 
 phẳng SBC và ABC , giá trị cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất là
 2 2 3 6
 A. . B. .C. . D. .
 2 3 3 3
 Lời giải
 Đặt SA h, AB AC a . Ta có 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 d A; SBC AH 3; 33 a2h 6 .
 AH 2 SA2 AB2 AC 2 9 a2 a2 h2 a4h2
 · SBC , ABC S· MA .
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là h và x . Để lượng vàng trên hộp là 
 nhỏ nhất thì giá trị của h và x là?
 3
 A. h 2 , x 4 . B. h , x 4 . C. h 2 , x 1. D. h 4 , x 2 .
 2
 Lời giải
 32
 Ta có thể tích chiếc hộp: V x2h 32 (đvtt), với x,h 0 . Suy ra h .
 x2
 32 256
 Phần mạ vàng của chiếc hộp: S 2x2 8xh 2x2 8x. 2x2 .
 x2 x
 Cách 1
 256 128 128 128 128
 Ta có 2x2 2x2 33 2x2. . 96 (BĐT AM-GM).
 x x x x x
 128
 Đẳng thức xảy ra khi 2x2 hay x 4 , khi đó h 2 .
 x
 Cách 2.
 256
 Xét hàm số f x 2x2 với x 0 .
 x
 256 4x3 256
 Ta có f x 4x , f x 0 4x3 256 x 4 ; f 4 96.
 x2 x2
 BBT
 x 0 4 
 f x 0 
 f x 
 96
 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại x 4 , khi đó h 2 .
 Vậy phương án A đúng.
Câu 9. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có các cạnh 
 AB BC CD DA 1 và AC , BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD 
 bằng
 2 3 4 3 2 3 4 3
 A. B. C. D. 
 27 27 9 9
 Lời giải
 Chọn A
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1 2 4
 Dấu bằng xảy ra a2 b2 1 a2 b2 a b x y x y .
 3 3 3
Câu 11. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có tổng diện 
 tích tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC ' bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao 
 nhiêu?
 A. 8 2 B. 6 6 C. 24 3 D. 16 2
 Lời giải
 Chọn A
 +) Gọi độ dài AB a, AD b và AA c
 Ta có tổng diện tích tất cả các mặt là 36 nên 2ab 2bc 2ca 36 ab bc ca 18 1 
 Do độ dài đường chéo AC ' bằng 6 nên a2 b2 c2 36 2 
 +) Thể tích khối hộp là V abc
 2
 Ta có a b c a2 b2 c2 2 ab bc ca 72 a b c 6 2
 Từ 1 ab 18 c a b 18 c 6 2 c c2 6 2c 18
 Nên V abc c3 6 2c2 18c f c , c 0;6 2 
 c 3 2
 Ta có f c 3c2 12 2c 18 0 
 c 2
 Lập bảng biến thiên ta được Max V f 2 8 2
 0;6 2 
Câu 12. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD có SC x 0 x a 3 , các cạnh còn lại 
 a m
 đều bằng a . Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x m,n ¥ * . 
 n
 Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. m 2n 10 .B. m2 n 30 .C. 2n2 3m 15.D. 4m n2 20 .
 Lời giải
 S
 x
 a I a
 a
 A D
 O a
 B a C
 ￿ Gọi I là trung điểm SC , O AC  BD .
 BI  SC
 Ta có BD  SC
 DI  SC
 Mà ABCD là hình thoi nên BD  AC
 Khi đó, BD  SAC .
 ￿ VS.ABCD 2VS.ABC 2VB.SAC .
 x2 a2
 ￿ AO2 AB2 BO2 AB2 BI 2 OI 2 AB2 SB2 SI 2 OI 2 
 4
 Trang 7