Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 14: Thể tích khối đa diện khác (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 14 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD.A B C D có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy 
 bằng 9. Gọi M , N , P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A , BCC B , CDD C và 
 DAA D . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , D, M , N , P và Q bằng
 A. 27. B. 30. C. 18. D. 36.
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có VABCD.A B C D 9.8 72.
 Gọi I , J , K , L lần lượt là trung điểm các cạnh AA , BB , CC , DD suy ra VABCD.IJKL 36.
 1
 Do hình chóp A.MIQ đồng dạng với hình chóp A.B A D theo tỉ số nên 
 2
 1 1 1 9 3
 V V . .8. .
 A.MQI 8 A.B A D 8 3 2 2
 3
 V V 4V 36 4. 30 .
 ABCD.MNPQ ABCD.IJKL A.MIQ 2
Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a và 
 O là tâm của đáy. Gọi M, N , P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của 
 các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O . Thể tích của 
 khối chóp S '.MNPQ bằng
 20 14a3 40 14a3 10 14a3 2 14a3
 A. . B. . C. . D. .
 81 81 81 9
 Lời giải
 ChọnA.
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 S
 M
 Q N
 P G1
 G2
 G4
 G3
 B
 A
 O a
 D C
 S'
 Ta gọi G1,G2,G3,G4 lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, SBC , SCD, SDA thì
 5 5 5
 d S , MNPQ d O, MNPQ VS .MNPQ VO.MNPQ .8VO.G G G G
 2 2 2 1 2 3 4
 2 20 1 a 10 10 10a3
 10V 10. V . . .a2 .
 S.G1G2G3G4 27 S.ABCD 27 3 2 81
Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và 
 O là tâm của đáy. Gọi M , N , P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các 
 tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O . Thể tích khối chóp 
 S .MNPQ bằng.
 2 6a3 40 6a3 10 6a3 20 6a3
 A. . B. . C. . D. .
 9 81 81 81
 Lời giải
 Chọn D
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 8
 S a 2 .
 MNPQ 9
 Ta có MNPQ // ABCD 
 2 a 2
 d M, ABCD 2d G, ABCD SO .
 3 3
 a 2
 d MNPQ , ABCD 
 3
 a 2 5a 2
 d S , MNPQ S O 
 3 6
 1 5a 2 8a2 20 2a3
 V . . .
 S MNPQ 3 6 9 81
Câu 6. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4a, cạnh bên bằng 2 3a 
 và O là tâm của đáy. Gọi M, N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các mặt 
 phẳng (SA B ) , (SBC ) , (SCD ) và (SD A) . Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng
 4a3 64a3 128a3 2a3
 A. . B. . C. . D. .
 3 81 81 3
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD và DA . Gọi M , N , P, Q lần lượt hình 
 chiếu vuông góc của O lên các đường thẳng SE , SF , SG , SH ta suy ra M , N , P, Q lần lượt hình 
 chiếu vuông góc của O mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (SD A) .
 1 1
 Ta có EFGH là hình vuông và S S suy ra V V .
 EFGH 2 ABCD S .EFGH 2 S .ABCD
 1 1
 Các độ dài SO SA2 AC 2 (2a 3)2 (4a 2)2 2a và SE SO2 OE2 2a 2 .
 4 4
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 2 3
 1 1 2 1 a a a
 Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng S .OI .MN .OI . . .
 3 MNPQ 3 3 8 4 96
 3a 3
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng và O là tâm của đáy. 
 2
 Gọi M, N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SA B ) , 
 (SBC ) , (SCD ) và (SAD ) . Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng
 9a3 2a3 9a3 a3
 A. . B. . C. . D. .
 16 3 32 3
 Lời giải
 ChọnC.
 Gọi E , F , G , H lần lượt là giao điểm của SM với AB , SN với BC , SP với CD , S Q với 
 DA thì E , F , G , H là trung điểm của AB, BC , CD , DA thì
 9a2
 SP SP.SG SO2 1
 Ta có 4 P là trung điểm SG .
 SG SG2 SG2 9a2 2
 2
 Chứng minh tương tự ta cũng có M, N , Q lần lượt là trung điểm AB, BC, DA .
 1 3a
 Khi đó d(O, (MNPQ)) SO .
 2 4
 1 1 9a2
 S S S .
 MNPQ 4 EFGH 8 ABCD 8
 1 3a 9a2 9a3
 Vậy V   .
 O.MNPQ 3 4 8 32
Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 
 và O là tâm của đáy. Gọi M, N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các mặt 
 phẳng SAB , SBC , SCD và SDA . Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng:
 3 3 3 3
 A. 8a . B. a . C. a . D. 16a .
 81 6 12 81
 Lời giải
 Chọn C
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 S
 F
 E
 D
 A
 B C
 Ta có:ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân
 Dựa vào hình vẽ ta có:
 VABCDSEF VADF.BCE VS.CDFE VADF.BCE VB.CDFE 2VADF.BCE VBADE
 1 1 1 1 1 5
 V AB.S ;V AD.S V 2. 
 ADF .BCE BCE 2 BADE 3 ABE 6 ABCDSEF 2 6 6
Câu 11. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC.A B C có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều 
 cạnh bằng 4. Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A , ACC A và BCC B . Thể 
 tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng
 20 3 14 3
 A. 8 3. B. 6 3. C. . D. .
 3 3
 Lời giải
 Chọn B
 A' C'
 B'
 N
 P
 M
 A C
 B
 42. 3
 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là V 4. 16 3 .
 4
 Gọi thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P là V1 .
 Ta có: V1 VAMNCB VBMNP VBNPC .
 1 3 1
 Dễ thấy V V và V V nên V V .
 A ABC 3 AMNCB 4 A ABC AMNCB 4
 Trang 9