Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 13: Tỉ số thể tích (Mức 5-6 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM
 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
 1. Kỹ thuật chuyển đỉnh
 A. Song song đáy
 Vcò Vmíi
 B. Cắt đáy
 V Giaocò IA
 cò 
 Vmíi Giao míi IB
 2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)
 V S
 cò đÊy
 Vmíi SđÊy míi
 - Để kỹ thuật chuyển đáy được thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện
 tích, khi đó ta sẽ dễ dàng so sánh tỉ số hơn.
 - Cả hai kỹ thuật đều nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu về đa diện khác dễ tính thể tích
 hơn.
 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác
 S OM.ON
 OMN 
 S APQ OP.OQ
 4. Tỉ số thể tích của khối chóp
 A. Công thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác
 V SM SN SP
 S.MNP . .
 VS.ABC SA SB SC
 Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, 
 do đó trong nhiều trường hợp ta cần
 hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình 
 chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
 B. Một số trường hợp đặc biệt
 V
 SA1 SB1 SC1 SD1 S.A1B1C1D1 3
 Nếu A1B1C1D1 P ABCD và k thì k
 SA SB SC SD VS.ABCD
 Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác.
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. 12. B. 2 . C. 8 . D. 3 .
 Lời giải
 S
 M P
 N
 A C
 B
 V SA SB SC
 Ta có S.ABC . . 2.2.2 8 , suy ra đáp ánC.
 VS.MNP SM SN SP
Câu 2. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung 
 V
 điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ số thể tích MIJK bằng
 VMNPQ
 1 1 1 1
 A. B. C. D. 
 3 4 6 8
 Lời giải
 Chọn D
 M
 I K
 J
 N Q
 P
 V
 M .IJK MI MJ MK 1 1 1 1
 Ta có: = . . = . . = .
 VM .NPQ MN MP MQ 2 2 2 8
Câu 3. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A , B , C , D theo thứ tự 
 là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A B C D và S.ABCD .
 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
 16 4 8 2
 Lời giải
 Chọn C
 S
 V SA SB SD 1 V 1
 Ta có S.A B D . . S.A B D .
 D' C'
 VS.ABD SA SB SD 8 VS.ABCD 16
 A' B'
 VS.B D C SB SD SC 1 VS.B D C 1
 Và . . . D
 C
 VS.BDC SB SD SC 8 VS.ABCD 16
 A
 V V 1 1 1 V 1 B
 Suy ra S.A B D S.B D C S.A B C D .
 VS.ABCD VS.ABCD 16 16 8 VS.ABCD 8
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB , SC . Tính tỉ số thể 
 tích của 2 khối chóp S.MNP và S.ABC bằng
 1 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 4 8 16 2
 Lời giải
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 V SA SB SC
 Theo công thức tỉ số thể tích ta có 1 . . .
 V2 SA ' SB ' SC '
Câu 8. (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC có thể tích bằng 5a3 . Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy 
 các điểm M và N sao cho SM = 3MB , SN = 4NC (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích V của 
 khối chóp AMNCB .
 3 3
 A. V = a3 . B. V = a3 . C. V = a3 . D. V = 2a3 .
 5 4
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi V1 là thể tích khối chóp SAMN và Vo là thể tích khối chóp SABC .
 V SM SN 3 4 3
 Theo công thức tỷ lệ thể tích ta có: 1 = . = . = .
 Vo SB SC 4 5 5
 V là thể tích khối chóp AMNCB ta có V + V1 = V0 .
 2 2
 Vậy V = V = .5a3 = 2a3 .
 5 0 5
Câu 9. Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó 
 tăng lên bao nhiêu lần?
 A. 2 lần. B. 4 lần. C. 6 lần. D. 8 lần.
 Lời giải
 Chọn D
 h
 a
 Gọi h , a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều.
 1
 Thể tích của khối chóp tứ giác đều là V a2h .
 3
 Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là
 1 2 1
 V 2a 2h 8 a2h 8V .
 3 3
 Vậy thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần.
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 VS.A B C SA SB SC 1 V
 Ta có   VS.A B C .
 VS.ABC SA SB SC 8 8
Câu 14. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Trên các cạnh AB , AC lần 
 a 2a
 lượt lấy các điểm B ',C ' sao cho AB ' , AC ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 'C ' D và 
 2 3
 khối tứ diện ABCD là
 1 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 2 3 4 5
 Lời giải
 V AB ' AC ' 1
 Ta có: AB'C 'D . .
 VABCD AB AC 3
 A
 B'
 C'
 B
 C
 D
 Dạng 2. Tỉ số khối lăng trụ
Câu 1. (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa 
 diện BAA C C .
 3V 2V V V
 A. . B. . C. . D. .
 4 3 2 4
 Lời giải
 Chọn B
 Mặt phẳng BA C chia khối lăng trụ ABC.A B C thành hai khối: B.AA C C và B.A B C 
 VB.AA C C VABC.A B C VB.A B C .
 1
 Khối chóp B.A B C và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao VB.A B C V
 3
 1 2V
 V V V .
 BAA C C 3 3
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 4. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích V . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Mặt 
 phẳng MAB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k 1. Tìm k ?
 2 3 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 5 5 5 6
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có V d C , ABC  SABC .
 1 1 1 5
 Khi đó VM .ABC d M , ABC .SABC d C , ABC  SABC V VABM .A B C V .
 3 6 6 6
 V 1
 Vậy k M .ABC .
 VABM .A B C 5
Câu 5. (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là 4 . Nếu gấp đôi các cạnh 
 đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích 
 là:
 A. 8 . B. 4 . C. 16. D. 2 .
 Lời giải
 Chọn A
 Giả sử khối lăng trụ tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h . Khi đó thể tích khối 
 lăng trụ tứ giác đều được tính bởi công thức V = B.h = a2.h = 4.
 Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy mới B ' = 4a2 . Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao 
 h h
 mới h' = . Vì vậy thể tích khối lăng trụ mới sẽ là: V = B '.h' = 4a2. = 2a2h = 8 .
 2 2
Câu 6. Biết khối hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích V . Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp đó lên gấp hai 
 lần thì thể tích khối hộp mới là:
 A. 8V . B. 4V . C. 2V . D. 16V .
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có nếu tăng mỗi cạnh của khối hộp lên hai lần thì ta được khối hộp mới đồng dạng với khối 
 hộp cũ theo tỉ số 2. Do đó thể tích khối hộp mới bằng 23.V 8V .
 V
Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có M là trung điểm của AA . Tỉ số thể tích M .ABC bằng
 VABC.A B C 
 1 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 6 3 12 2
 Lời giải
 Trang 9