Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 12: Một số bài toán khó tính thể tích khối chóp, lăng trụ (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Câu 1. (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC.A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 
 2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu 
 2 3
 vuông góc của A lên mặt phẳng A B C là trung điểm M của B C và A M . Thể tích 
 3
 của khối lăng trụ đã cho bằng
 2 3
 A. 2 B. 1 C. 3 D. 
 3
 Lời giải
 Chọn A
 A C2
 B2
 C'
 A
 M M
 B'
 A'
 A' C1 H T
 H
 B1 T
 Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác 
 A B1C1 có các cạnh A B1 1; A C1 3 ; B1C1 2 .
 Suy ra tam giác A B1C1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1.
 Gọi giao điểm của AM và A H là T .
 2 3 1
 Ta có: A M ; A H 1 MH . Suy ra M· A H 30.
 3 3
 A M 4
 Do đó M· A A 60 AA .
 cos M· A A 3
 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng thể tích khối lăng trụ A B1C1.AB2C2 và bằng 
 4 3
 V AA .S  2 .
 A B1C1 3 2
Câu 2. (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C ', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' bằng 
 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông 
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A
 B
 F
 I
 E C
 B'
 A'
 K
 M
 Kẻ AI  BB ', AK  CC ' ( hình vẽ ).
 Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 AI 1, AK 2 .
 15 15
 Gọi F là trung điểm của BC . A'M AF 
 3 3
 AI  BB ' 
 Ta có  BB '  AIK BB '  IK .
 BB '  AK 
 Vì CC ' PBB ' d(C, BB ') d(K, BB ') IK 5 AIK vuông tại A .
 Gọi E là trung điểm của IK EF PBB ' EF  AIK EF  AE .
 Lại có AM  ABC . Do đó góc giữa hai mặt phẳng ABC và AIK là góc giữa EF và AM 
 5
 AE 3
 bằng góc ·AME F· AE . Ta có cos F· AE 2 F· AE 30.
 AF 15 2
 3
 Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng AIK là AIK nên ta có: 
 3 2
 S S cos E· AF 1 S S .
 AIK ABC ABC 2 3 ABC
 15
 AF
 Xét AMF vuông tại A : tan ·AMF AM 3 AM 5 .
 AM 3
 3
 2 2 15
 Vậy V 5. .
 ABC.A'B'C ' 3 3
Câu 4. (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 
 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu 
 vuông góc của A lên mặt phẳng A B C là trung điểm M của B C và A M 5 . Thể tích 
 của khối lăng trụ đã cho bằng
 15 2 5 2 15
 A. 5 B. C. D. 
 3 3 3
 Lời giải
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Do AC  AB , AC  AA nên AC  ABB A . Mà A B  ABB A nên AC  A B .
 Có A B  AC , A B  CM nên A B  AMC A B  AM .
        1  
 Đặt AA x x 0 . Ta có A B AB AA và AM AB BM AB AA .
 2
         
 1 2 1 2 1
 Suy ra A B.AM AB AA AB AA AB AA AB.AA 
 2 2 2
 1 1 1 1 1 1
 AB2 AA 2 AB.AA .cos B· AA 22 x2 .2.x.cos120 x2 x 4
 2 2 2 2 2 2
   1 1 1 33
 Do A B  AM nên A B.AM 0 x2 x 4 0 x .
 2 2 2
 1 33 3 1 33 
 Lại có S AB.AA .sin B· AA 2. .sin120 (đvdt).
 ABB A 2 2
 1 1 3 1 33 1 33
 Do AC  ABB A nên V .AC.S . 3. (đvtt).
 C.ABB A 3 ABB A 3 2 2
 1 2
 Mà V V V V V V .
 C.A B C 3 ABC.A B C C.ABB A ABC.A B C C.A B C 3 ABC.A B C 
 3 3 1 33 3 1 33 
 Vậy V V . (đvtt).
 ABC.A B C 2 C.ABB A 2 2 4
Câu 6. (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông 
 cân tại C , AB 2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 60 . Gọi M , N lần 
 lượt là trung điểm của A C và BC . Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể 
 tích của phần nhỏ bằng
 7 3a3 6a3 7 6a3 3a3
 A. . B. . C. . D. .
 24 6 24 3
 Lời giải
 Chọn A
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 S
 D
 E
 A B
 O
 C
 Gọi O là tâm tam giác đều ABC . Do S.ABC là hình chóp đều nên ta có SO  ABC .
    1      1   
 Ta có AE SE SA SC SA; BD SD SB SA SB .
 2 2
 Đật ·ASC B· SC ·ASB .
   1   1   
 BD  AE BD.AE 0 SA SB SC SA 0
 2 2 
 1   1  2 1     
 SASC SA SB.SC SA.SB 0
 4 2 2
 2
 cos 2 2cos 4cos 0 cos .
 3
 Áp dụng định lý hàm số côsin trong tam giác SAC , ta có:
 8 2 6
 AC 2 SA2 SC 2 2SA.SC.cos AC .
 3 3
 2 3
 Diện tích tam giác ABC là S .
 ABC 3
 2 2 6 3 2 2 2 7
 AO . . ; SO SA2 AO2 .
 3 3 2 3 3
 1 1 2 3 2 7 4 21
 Thể tích khối chóp S.ABC là V SO.S . .
 3 ABC 3 3 3 27
Câu 8. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại 
 A , cạnh BC 2a và ·ABC 600 . Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B· BC nhọn. Mặt phẳng 
 BCC B vuông góc với ABC và mặt phẳng ABB A tạo với ABC góc 450 . Thể tích khối 
 lăng trụ ABC.A B C bằng
 7a3 3 7a3 6 7a3 7a3
 A. . B. . C. . D. .
 7 7 7 21
 Lời giải
 Chọn B
 Trang 7