Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 11: Thể tích khối lăng trụ (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 11 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Dạng 1. Thể tích khối lăng trụ đứng
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 
 BC a 2, A' B tạo với đáy một góc bằng 600 . Thể tích của khối lăng trụ bằng
 3a3 3a3 3a3 a3
 A. . B. . C. . D. .
 2 4 2 2
 Lời giải
 Chọn A
 A C
 a 2
 B
 C'
 A'
 B'
 1 1
 ABC là tam giác vuông cân tại A , BC a 2 AB AC a S a.a a2 .
 ABC 2 2
 A' B tạo với đáy một góc bằng 600 B· A' B ' 600 .
 BB '
 BA' B ': tan B· A' B ' 3 BB ' 3A' B ' a 3.
 v A' B '
 1 3a3
 Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'là: V BB '.S a 3. a2 .
 ABC.A'B'C ' ABC 2 2
Câu 2. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có đáy là một 
 tam giác vuông tại A . Cho AC AB 2a , góc giữa AC và mặt phẳng ABC bằng 30 . Tính 
 thể tích khối lăng trụ ABC.A B C .
 2a3 3 a3 3 5a3 3 4a3 3
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3
 Lời giải
 Chọn D
 A' B'
 C'
 B
 A
 C
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A C
 B
 A'
 C'
 B'
 * Ta có: CC //AA CC // AA B B 
 Mà A' B  AA' B ' B , nên
 d CC '; A' B d CC '; AA' B ' B C ' A' a 3
 * Ta có: AC A'C ' a 3; AB A' B ' a;
 a2 3
 Diện tích đáy là B dt ABC 
 2
 * Dễ thấy A' B '  ACC ' A' 
 Góc giữa B 'C và mặt phẳng ACC ' A' là B· 'CA' 
 A' B ' 1
 sin B 'C 2a 5
 B 'C 2 5
 CC ' B 'C 2 B 'C '2 20a2 4a2 4a
 a2 3
 * Thể tích lăng trụ là V B.h với h CC ' V .4a 2a3 3.
 2
Câu 5. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C ' có AB a, góc 
 giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng ABC bằng 45. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C ' bằng
 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3
 A. . B. . C. . D. .
 4 2 12 6
 Lời giải
 Chọn A
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A C
 120°
 B
 A'
 60° C'
 H
 B'
 Gọi H là trung điểm của B C , khi đó góc giữa mp AB C và đáy là góc ·AHA 60 .
 1 a2 3
 Ta có S AC.AB.sin120 .
 ABC 2 4
 1 2S a
 B C BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos120 a2 a2 2.a.a. a 3 A H ABC 
 2 B C 2
 a 3
 AA A H.tan 60 .
 2
 3a3
 Vậy V S .AA .
 ACB 8
Câu 8. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ đều ABC.A B C . Biết rằng góc giữa A BC và 
 ABC là 30, tam giác A BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C .
 A. 8 3 . B. 8 . C. 3 3 . D. 8 2 .
 Lời giải
 Chọn A
 A' C'
 B'
 A 30° C
 x M
 B
 Đặt AB x, x 0 , gọi M là trung điểm BC .
 A BC ABC BC
 ·
 Ta có AM  BC A BC , ABC ·A MA 30 .
 A M  BC
 AM x 3 2
 Xét A AM , có A M . x .
 cos30 2 3
 1
 S 8 A M.BC 8 x2 16 x 4
 A BC 2
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 B A
 C
 B' A'
 C'
     
 Đặt x BA , y BC , z BB , theo giả thiết AB  BC nên
     2  2  
 AB .BC 0 z x y z 0 z.y z x.y x.z 0 z x.y
 2  a2 a 2
 z x y cos60o z 
 2 2
 1 6a3
 Vậy V AB.AC.sin 60o.BB 
 ABC.A'B'C ' 2 8
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A' BC hợp 
 với mặt đáy ABC một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '.
 a3 3 a3 3 a3 3 3a3
 A. V . B. V . C. V . D. V .
 8 12 24 8
 Lời giải
 Chọn A
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . Suy ra AH  BC .
 A'H  BC .
 Mà ABC  A'BC BC
 Góc giữa A'BC và ABC bằng góc AH; A'H ·AHA' 30 .
 a 3 a
 Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên AH , A' A AH.tan 30 .
 2 2
 a a2 3 a3 3
 Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C ' là V A' A.S ABC  .
 2 4 8
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 B C
 A
 I
 B' C'
 A'
 Gọi I là trung điểm của cạnh B 'C '.
 Ta có góc giữa mp AB 'C ' và mp ABC bằng góc giữa mp AB 'C ' và mp A' B 'C ' 
 Ta có B 'C ' AB 'C '  A' B 'C ' 
 Vì ABC là tam giác vuông cân tại A nên hai mặt bên ABB ' A ' và ACC ' A' là hai hình chữ nhật 
 bằng nhau, do đó AC ' AB ' AB 'C ' là tam giác cân tại A AI  B 'C '
 Vì A' B 'C ' là tam giác vuông cân tại A ' nên A' I  B 'C ' . Như vậy góc giữa mp AB 'C ' và 
 mp ABC bằng ·AIA' 600
 1
 Ta có A' I BC a AA' A' I.tan 600 a 3
 2
 1 2
 V AA'.S a 3. a 2 a3 3
 ABC.A'B'C ' ABC 2 
Câu 14. Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng 
 1
 a , góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCC B bằng với cos . Tính thể tích khối 
 2 3
 lăng trụ ABC.A B C .
 3a3 2 3a3 2 a3 2 3a3 2
 A. V . B. V . C. V . D. V .
 4 2 2 8
 Lời giải
 Chọn B
 A' C'
 E
 B' K y
 α
 a
 A C
 M x
 B
 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC
 Trang 9