Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 10: Thể tích khối chóp (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ễN THI THPTQG
 Chuyờn đề 10 THỂ TÍCH KHỐI CHểP
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
 THỂ TÍCH KHỐI CHểP – KHỐI LĂNG TRỤ
 1 1
1. Thể tớch khối chúp V = ìS . chiều cao = ìS . d(đỉnh; mặt phẳng đáy)
 chóp 3 đáy 3 đáy
2. Thể tớch khối lăng trụ Vlăng trụ = Sđáy . chiều cao
 3
g Thể tớch khối lập phương V = a g Thể tớch khối hộp chữ nhật V = abc
 c
 a
 a b
3. Tỉ số thể tớch
g Cho khối chúp S.ABC, trờn cỏc đoạn thẳng SA, SB, SC lần S
lượt lấy cỏc điểm AÂ, BÂ, C Â khỏc S. Khi đú ta luụn cú tỉ số thể
 V SAÂ SBÂ SC Â AÂ
tớch: S.AÂB ÂC Â = ì ì ì
 C Â
 VS.ABC SA SB SC
g Ngoài những cỏch tớnh thể tớch trờn, ta cũn phương phỏp chia nhỏ B Â
khối đa diện thành những đa diện nhỏ mà dễ dàng tớnh toỏn. Sau đú C
cộng lại. A
g Ta thường dựng tỉ số thể tớch khi điểm chia đoạn theo tỉ lệ.
4. Tớnh chất của hỡnh chúp đều B
g Đỏy là đa giỏc đều (hỡnh chúp tam giỏc đều cú đỏy là tam giỏc đều, 
hỡnh chúp tứ giỏc đều cú đỏy là hỡnh vuụng).
g Chõn đường cao trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy
g Cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn và bằng nhau.
g Gúc giữa cỏc cạnh bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.
g Gúc giữa cỏc mặt bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.
5. Tứ diện đều và bỏt diện đều:
g Tứ diện đều là hỡnh chúp cú tất cả cỏc mặt là những tam giỏc đều bằng nhau.
g Bỏt diện đều là hỡnh gồm hai hỡnh chúp tứ giỏc đều ghộp trựng khớt hai đỏy với nhau. Mỗi đỉnh của nú là 
đỉnh chung của bốn tam giỏc đều. Tỏm mặt là cỏc tam giỏc đều và bằng nhau.
Nếu nối trung điểm của hỡnh tứ diện đều hoặc tõm cỏc mặt của hỡnh lập phương ta sẽ thu được một hỡnh bỏt 
diện đều.
 Trang 1 TÀI LIỆU ễN THI THPTQG
 1
g S = ì(tớch hai cạnh gúc vuụng).
 tam giác vuông 2
 (cạnh huyền)2
g S = ì
 tam giác vuông cân 4
 (cạnh)2. 3 cạnh. 3
g S = ị Chiều cao tam giác đều = ì
 tam giác đều 4 2
 2
￿ Shỡnh chữ nhật = dài ´ rộng và Shỡnh vuụng = (cạnh) .
 (đáy lớn + đáy bé)ì(chiều cao)
￿ S = ì
 hình thang 2
 Tích hai đường chéo Tích 2 đường chéo
￿ S = ị S = ì
 Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc 2 hình thoi 2
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng
Cho DABC vuụng tại A, cú AH là đường cao, AM là trung tuyến. Khi đú:
* BC 2 = AB 2 + AC 2 (Pitago), AH.BC = AB.AC.
* AB 2 = BH ìBC và AC 2 = CH ìCB.
 A
 1 1 1
* = + và AH 2 = HB ìHC.
 AH 2 AB 2 AC 2
* BC = 2AM .
 1 1
* S = ìAB ìAC = ìAH ìBC.
 DABC 2 2
2. Hệ thức lượng trong tam giỏc thường
Cho DABC và đặt B H M C
 a + b + c
AB = c, BC = a, CA = b, p = (nửa chu vi). 
 2
Gọi R, r lần lượt là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp và nội tiếp tam giỏc ABC. Khi đú:
 a b c
* Định lý hàm sin: = = = 2R.
 sin A sin B sinC A
 ỡ 2 2 2
 ù 2 2 2 à à b + c - a
 ù g a = b + c - 2bc cosA ị cosA =
 ù 2bc c b
 ù 2 2 2
 ù 2 2 2 à à a + c - b
* Định lý hàm cos: ớù g b = a + c - 2ac cosB ị cosB = ì
 ù 2ac a
 ù 2 2 2 B C
 ù 2 2 2 à à a + b - c M
 ù g c = a + b - 2abcosC ị cosC =
 ợù 2ab
 ùỡ AB 2 + AC 2 BC 2
 ù g AM 2 = -
 ù 2 4
 ù BA2 + BC 2 AC 2
* Cụng thức trung tuyến: ớù g BN 2 = - ì
 ù 2 4
 ù 2 2 2
 ù 2 CA + CB AB
 ù g CK = -
 ợù 2 4
 A
 ùỡ AM AN MN
 ù g MN PBC ị = = = k
 ù AB AC BC M N
* Định lý Thales: ớ 2 ì
 ù S ổAM ử
 ù DAMN ỗ ữ 2
 ù g = ỗ ữ = k
 ù S ốỗAB ứữ
 ợ DABC B C
 Trang 3 TÀI LIỆU ễN THI THPTQG
 SBC  ABCD BC
 ã ã
 Vỡ BC  SB  SBC SBC , ABCD SB; AB Sã BA.
 BC  AB  ABCD 
 Vậy Sã BA 60o
 SA
 Xột tam giỏc vuụng SAB cú: tan 60o SA AB.tan 60o a 3
 AB
 1 1
 Vậy V S .SA a2 3.a 3 a3 .
 S.ABCD 3 ABCD 3
Cõu 3. (Mó 123 2017) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với đỏy, 
 SC tạo với mặt phẳng SAB một gúc 300 . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD
 2a3 2a3 6a3
 A. B. C. D. 2a3
 3 3 3
 Lời giải
 Chọn B
 S
 300
 A D
 B C
 2
 +) Do ABCD là hỡnh vuụng cạnh a nờn: SABCD a
 ã 0
 +) Chứng minh được BC  SAB gúc giữa SC và (SAB) là CSB 30 .
 2 2 ã 0 1 BC
 +) Đặt SA x SB x a . Tam giỏc SBC vuụng tại B nờn tanCSA tan 30 
 3 SB
 Ta được: SB BC 3 x2 a2 a 3 x a 2 .
 1 1 2a3
 Vậy V .SA.S .a 2.a2 (Đvtt)
 SABCD 3 ABCD 3 3
Cõu 4. (Chuyờn Vĩnh Phỳc 2019) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại C, cạnh bờn 
 a3
 SA vuụng gúc với mặt đỏy, biết AB 4a, SB 6a. Thể tớch khối chúp S.ABC là V. Tỷ số là
 3V
 5 5 5 3 5
 A. B. C. D. 
 80 40 20 80
 Lời giải
 Chọn B
 Ta cú:
 + D ABC vuụng cõn tại C, AB 4a suy ra
 AC BC 2a 2.
 Trang 5 TÀI LIỆU ễN THI THPTQG
 2a 5 2a 15
 SA AE.tan 600 . 3 
 5 5
 Khi đú thể tớch S.ABCD
 1 1 2a 15 4a3 15
 V SA.S . .2a2 
 3 ABCD 3 5 15
Cõu 7. (Hoàng Hoa Thỏm 2019) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú AB 5 3, BC 3 3 , gúc 
 Bã AD Bã CD 90 , SA 9 và SA vuụng gúc với đỏy. Biết thể tớch khối chúp S.ABCD bằng 
 66 3 , tớnh cotang của gúc giữa mặt phẳng SBD và mặt đỏy.
 S
 A D
 B
 C
 20 273 91 3 273 9 91
 A. . B. . C. . D. 
 819 9 20 9
 Lời giải
 S
 A
 D
 H
 B
 C
 1 1
 Cú: V .SA.S 66 3 .9.S S 44 3
 S.ABCD 3 ABCD 3 ABCD ABCD
 1 1
 Suy ra AB.AD BC.CD 44 3 5AD 3CD 44 . (1)
 2 2
 Áp dụng định lớ Pitago trong 2 tam giỏc vuụng ABD; BCD , ta cú:
 AB2 AD2 BD2 BC 2 CD2 CD2 AD2 48 (2)
 AD 4
 Từ (1) và (2) suy ra 47
 AD 
 2
 47 44
 AD khụng thỏa món do từ (1) ta cú: AD AD 4 .
 2 5
 Trong tam giỏc ABD , dựng AH  BD lại cú SA  BD BD  SH .
 Vậy gúc giữa SBD và đỏy là gúc Sã HA.
 Trang 7