Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH MỤC TIÊU 7-8 ĐIỂM
 Dạng 1. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Xét hàm số bậc ba y f (x) ax3 bx2 cx d.
– Bước 1. Tập xác định: D ¡ .
– Bước 2. Tính đạo hàm y f (x) 3ax2 2bx c.
 a f (x) 3a 0
+ Để f (x) đồng biến trên y f (x) 0, x m ?
 ¡  ¡ 2 
 f (x) 4b 12ac 0
 a f (x) 3a 0
+ Đề f (x) nghịch biến trên y f (x) 0, x m ?
 ¡  ¡ 2 
 f (x) 4b 12ac 0
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f (x) ax2 bx c.
 a 0 a 0
 Để f (x) 0, x ¡  f (x) 0, x ¡ 
 0 0
Câu 1. (Đề Tham Khảo Lần 2 2020)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 
 1
 f (x) x3 mx2 4x 3 đồng biến trên ℝ.
 3
 A. 5 .B. 4 .C. 3 . D. 2 .
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có f (x) x2 2mx 4 .
 Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi f (x) 0,x ¡ (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn 
 điểm).
 Ta có f (x) 0,x ¡ ' 0
 ' m2 4 0
 2 m 2 .
 Vì m ¢ nên m 2; 1;0;1;2, vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 2. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y x3 mx2 4m 9 x 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu 
 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 
 A. 5 B. 4 C. 6 D. 7
 Lời giải
 Chọn D
 Ta có:
 +) TXĐ: D ¡
 +) y' 3x2 2mx 4m 9 .
 a 3 0
 Hàm số nghịch biến trên ; khi y' 0,x ; 2
 ' m 3 4m 9 0
 m 9; 3 có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 y x2 – 4mx m 3 .
 y 0 x2 – 4mx m 3 0 .
 Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0,x ¡ , đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn 
 2 3
 điểm 0 2m 1. m 3 0 4m2 m 3 0 m 1.
 4
 3
 Vậy m 1.
 4
Câu 8. (Chuyên KHTN - Hà Nội - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
 y x3 m 1 x2 3x 2 đồng biến trên ¡ là
 A.  4;2.B. 4;2 .C. ; 42; . D. ; 4  2; .
 Lời giải
 Chọn A
 Tập xác định: D ¡ .
 Ta có: y 3x2 2 m 1 x 3.
 Hàm số y x3 m 1 x2 3x 2 đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0,x ¡ .
 m 1 2 9 0 m2 2m 8 0 4 m 2.
 Vậy m  4;2 .
 Nếu hệ số a chứa tham số thì phải xét trường hợp a 0 và a 0
Câu 9. (Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 
 y m2 1 x3 m 1 x2 x 4 nghịch biến trên khoảng ; .
 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
 Lời giải
 Chọn C
 TH1: m 1. Ta có: y x 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số 
 luôn nghịch biến trên ¡ . Do đó nhận m 1.
 TH2: m 1. Ta có: y 2x2 x 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không 
 thể nghịch biến trên ¡ . Do đó loại m 1.
 TH3: m 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; y 0 x ¡ , dấu “=” chỉ 
 xảy ra ở hữu hạn điểm trên ¡ .
 3 m2 1 x2 2 m 1 x 1 0 , x ¡
 2 2 1 m 1
 a 0 m 1 0 m 1 0 1
 2 1 m 1. Vì 
 0 m 1 3 m2 1 0 m 1 4m 2 0 m 1 2
 2
 m ¢ nên m 0 .
 Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
Câu 10. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số 
 1
 y m2 m x3 2mx2 3x 2 đồng biến trên khoảng ; ?
 3
 A. 4 .B. 5 .C. 3 .D. 0 .
 Lời giải
 Chọn A
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. 1 m 2 .B. 1 m 2 .C. 1 m 2 . D. 1 m 2
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có y 3 m 1 x2 6 m 1 x 3 .
 m 1 0
 Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0,x ¡ m 1 0 
 0
 m 1 m 1
 m 1 
 m 1 1 m 2. 
 2 
 1 m 2
 9 m 1 9 m 1 0 
Câu 14. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Số giá trị nguyên của m để hàm số 
 y (4 m2 )x3 (m 2)x2 x m 1 1 đồng biến trên ¡ bằng.
 A. 5 . B. 3 .C. 2 .D. 4 .
 Lời giải
 TH1: 4 m2 0 m 2 .
 m 2 : 1 y x 1 hàm số luôn tăng trên ¡ m 2 (nhận).
 2 1 
 m 2 : 1 y 4x x 3 là hàm số bậc hai nên tăng trên khoảng ; , giảm trên 
 8 
 1 
 khoảng ; m 2 (loại).
 8 
 TH2: 4 m2 0 .
 y 3 4 m2 x2 2 m 2 x 1. m 2 2 3 4 m2 4m2 4m 8.
 hàm số đồng biến trên ¡ y 0x ¡ .
 2
 a 0 4 m 0 m 2;2 
 m 1;2 m m 1 m 0 m 1
 2  . ¢ ; ; .
 0 4m 4m 8 0 m  1;2
 Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 
  100;100 để hàm số y mx3 mx2 m 1 x 3 nghịch biến trên ℝ là:
 A. 200 .B. 99 .C. 100.D. 201.
 Lời giải
 Trường hợp 1: m 0 . Ta có:
 y x 3 có y 1 0 với mọi x ¡ nên hàm số luôn đồng biến trên trên ℝ.
 Do đó loại m 0 .
 Trường hợp 2: m 0 . Ta có: y 3mx2 2mx m 1, 2m2 3m m 2m 3 
 Hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0 với mọi ∈ ℝ
 m 0 m 0 m 0 3
 m .
 0 m 2m 3 0 2m 3 0 2
 Vì m là số nguyên thuộc đoạn  100;100 nên m 2; 3;...; 99; 100.
 Vậy có 99 giá trị m .
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1
 Tổng hợp lại, ta có tất cả giá trị m cần tìm là m 1.
 2
 Vì m ¢ , suy ra m 0;1 , nên có 2 giá trị nguyên của tham số m .
 ax b
Xét hàm số nhất biến y f (x) 
 cx d
 d 
– Bước 1. Tập xác định: D ¡ \ 
 c 
 a.d b.c
– Bước 2. Tính đạo hàm y f (x) 
 (cx d)2
+ Để f (x) đồng biến trên D y f (x) 0, x D a.d b.c 0 m ?
+ Để f (x) nghịch biến trên D y f (x) 0, x D a.d b.c 0 m ?
 Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " " xảy ra tại vị trí y .
 mx 2m 3
Câu 18. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá 
 x m
 trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
 A. Vô sốB. 3 C. 5 D. 4
 Lời giải
 Chọn B
 m2 2m 3
 hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi nên có 3 giá trị của m 
 y' 2 1 m 3
 x m 
 nguyên
 mx 4m
Câu 19. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị 
 x m
 nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
 A. 4 B. Vô sốC. 3 D. 5
 Lời giải
 Chọn D
 m2 4m
 D ¡ \ m ; y .
 x m 2
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y 0,x D m2 4m 0 0 m 4 .
 Mà m ¢ nên có 3 giá trị thỏa mãn.
 m 1 x 2
Câu 20. (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y đồng 
 x m
 biến trên từng khoảng xác định của nó?
 A. 1.B. 0.C. 2.D. 3.
 Lời giải
 TXĐ: D ¡ \ m
 m2 m 2
 y .
 x m 2
 Trang 7