Chuyên đề Ôn thi THPT Toán 12 - Chủ đề 8: Toán thực tế (Vận dụng cao)

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
 Chủ đề 8. TOÁN THỰC TẾ
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản xuất được trong 1 ngày là giá trị 
 2 1
 của hàm số: f m,n m 3 .n3 , trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động 
 chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách 
 hàng. Biết rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là 6 USD và cho một 
 lao động chính là 24 USD . Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này.
 A. 1720 USD . B. 720 USD . C. 560 USD . D. 600 USD .
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 2 1
 Ta có giả thiết: m 3 .n3 40 m2n 64000 với m,n ¥ .
 Tổng số tiền phải chi trong một ngày là: 6m 24n 3m 3m 24n 33 216m2n 720
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 3m 24n m 8n
 Do đó, m2n 64000 64n3 64000 n 10
 Ta chọn n 10 m 80 .
 Vậy chi phí thấp nhất để trả cho 80 nhân viên và 10 lao động chính để sản xuất đạt yêu cầu 
 là 720 USD
Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 1 mét. 
 Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng?
 3 3 3 3
 A. 3 3 m2 . B. m2 . C. m2 . D. 1 m2 .
 2 4
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 Kí hiệu x là độ dài đường cao suy ra 0 x 1 Tính được đáy lớn bằng 1 2 1 x2 .
 Diện tích hình thang S 1 1 x2 x . Xét hàm số f (x) 1 1 x2 x trên 0;1.
 2x2 1 1 x2
 Ta có: f (x) . 
 1 x2
 3 3 3 3
 f (x) 0 x . Lập bảng biến thiên. Suy ra max f (x) f 
 2 0;1 2 4 Câu 6: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhung vì không đủ nộp tiền học 
 phí Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm 3.000.000 đồng để nộp học với 
 lãi suất 3% /năm. Sau khi tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không 
 đổi) cùng với lãi suất 0,25% / tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T mà Hùng phải trả cho ngân 
 hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là
 A. 2đồng.3251 8 B. đồng. 3096C.04 đồng. D. đồng.215456 232289
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 + Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học:
 Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là: 3 +3r 3 1 r 
 Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là: 3 1 r 2 3 1 r 
 Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là:
 3 1 r 4 3 1 r 3 3 1 r 2 3 1 r 12927407,43 A
 + Tính số tiền T mà Hùng phải trả trong 1 tháng:
 Sau 1 tháng số tiền còn nợ là: A Ar T A 1 r T .
 Sau 2 tháng số tiền còn nợ là: A 1 r T A 1 r T .r T A 1 r 2 T 1 r T 
 Tương tự sau 60 tháng số tiền còn nợ là: 
 A 1 r 60 T 1 r 59 T 1 r 58  T 1 r T .
 Hùng trả hết nợ khi và chỉ khi 
 A 1 r 60 T 1 r 59 T 1 r 58  T 1 r T 0
 A 1 r 60 T 1 r 59 1 r 58  1 r 1 0
 60
 60 1 r 1
 A 1 r T 0
 1 r 1
 60
 60 1 r 1
 A 1 r T 0
 r
 Ar 1 r 60
 T 
 1 r 60 1
 T 232.289
Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t .Biết rằng 
 4000
 N t và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng 
 1 0,5t
 là bao nhiêu?
 A. .2 58 959 B.co n. C. . 253 D.58 4. con 257 167 con 264 334 con
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 4000
 Ta có: N t N t dt dt 8000.ln 1 0,5t C 
 1 0,5t
 Mà số lượng vi trùng ban đầu bằng 250000 con nên C 250000 .
 Do đó: N t 8000.ln 1 0,5t 250000 .
 Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng bằng: N 10 8000.ln 6 250000 264334 con. 10000 11500
 Mà B 0 500 C 500 C 
 3 1 0,3.0 3
 10000 11500
 Do đó: B t 
 3 1 0,3t 3
 10000 11500
 Nước trong hồ vẫn an toàn khi chỉ khi B t 3000 3000 t 10
 3 1 0,3t 3
 Vậy kể từ ngày thứ 10, nước hồ không còn an toàn.
Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Một lon nước soda 80F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 
 32F . Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức 
 T (t) 32 48.(0.9)t . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là50F ?
 A. 1,56. B. 9,3. C. 2. D. 4. 
 Hướng dẫn giải
 Chọn B. 
 to
 Gọi to là thời điểm nhiệt độ lon nước 80F T to 32 48. 0,9 80 (1)
 to
 Gọi t1 là thời điểm nhiệt độ lon nước 50F T t1 32 48. 0,9 50 (2)
 to
 (1) 0,9 1 to 0 
 t 3 3
 (2) 0,9 1 t log 9,3 
 8 1 0,9 8
Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho 
 thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ 
 mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ 
 bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập 
 cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu?
 A. 115 250 000 . B. 101 250 000 . C. 100 000 000 . D. 100 250 000.
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 Gọi x (đồng/tháng) (x > 0) là giá cho thuê mới.
 x
 Þ Số căn hộ bị bỏ trống là căn hộ
 50 000
 æ x ö
 Þ Số tiền công ty thuê được T (x)= (2 000 000+ x)ç50- ÷
 èç 50 000ø÷
 Khảo sát hàm số T (x) trên (0;+ ¥ ) Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp 
 h' 3 3 19
 ngược ly là1 .
 h 3
Câu 14: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so 
 với đầu năm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau n năm, đơn vị tiền tệ sẽ mất đi ít 
 nhất 90% giá trị của nó?
 A. 16 B. 18. C. 20. D. 22.
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 Gọi x x 0 là giá trị tiền tệ lúc ban đầu. Theo đề bài thì sau 1 năm, giá trị tiền tệ sẽ còn 
 0,9x . 
 Cuối năm 1 còn 0,9x 
 Cuối năm 2 còn 0,9.0,9x 0,92 x 
 Cuối năm n còn 0,9n x 
 Ycbt 0,9n x 0,1x n 21,58 . Vì n nguyên dương nên n 22 . 
Câu 15: (NGÔ GIA TỰ - VP) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều 
 cao bằng 4,2 m . Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột 
 còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 
 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000đ /m2 (kể cả phần thi công) thì người 
 chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
 A. 15.844.000. B. 13.627.000. C. 16.459.000. D. 14.647.000.
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. 
 Diện tích xung quanh của một cái cột được tính bởi công thức: Sxq 2 Rh
 Tổng diện tích xung quanh của 10 cái cột là: 4. 2 .0,2.4,2 6. 2 .0,13.4,2 13,272 
 Tổng số tiền cần chi là: 13,272 380.000 15.844.000 .
Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng 
 đường s mét đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t giây , hàm số đó là 
 s 6t 2 – t3 . Thời điểm t giây mà tại đó vận tốc v m/s của chuyển động đạt giá trị lớn 
 nhất là
 A. t 4s . B. t 2s . C. t 6s . D. t 8s .
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 2
 Hàm số vận tốc là v s t 3t 12t , có GTLN là vmax 12 tại t 2 
Câu 17: (LÝ THÁI TỔ -HN) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp 
 đậy với dung tích 1000cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật 
 liệu nhất bằng