Chuyên đề Ôn thi THPT Toán 12 - Chủ đề 6: Khối tròn xoay (Vận dụng cao)

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
 Chủ đề 6. KHỐI TRÒN XOAY 
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , AB 1, AC 2 và B· AC 60. 
 Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 
 các điểm A , B , C , M , N .
 2 3 4
 A. R 2 . B. R . C. R . D. R 1.
 3 3
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 *Gọi K là trung điểm của AC suy ra :
 AK AB KC 1 
 *Lại có 
 B· AC 60 ·ABK 60; K· BC 30 ·ABC 90 1 
 *Theo giả thiêt ·ANC 90 2 
 * Chứng minh ·AMC 90 3 
 Thật vậy, ta có:
 BC  SA; BC  AB BC  SAB SBC  SAB 
 AM  SB AM  SBC AM  MC
 Từ 1 ; 2 ; 3 suy ra các điểm A , B , C , M , N nội tiếp đường tròn tâm K , bán kính 
 1
 KA KB KC KM KN AC 1.
 2
Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm 
 B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi 
 tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện 
 tích xung quanh bằng
 (2 2) a2 (3 3) a2 (1 3) a2 3 2 a2
 A. B. C. D. 
 2 2 2 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn B. 
 Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên 
 một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng 
 diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH. Câu 4: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn O và O , chiều cao bằng 
 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO và tạo với OO 
 một góc 30 , cắt đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo R .
 4R 2R 2 2R 2R
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 Dựng OH  AB AB  OIH OIH  IAB 
 IH là hình chiếu của OI lên IAB 
 Theo bài ta được O· IH 30
 Xét tam giác vuông OIH vuông tại O
 R 3
 OH OI tan 30 
 3
 Xét tam giác OHA vuông tại H
 R 6 2R 6
 AH OA2 OH 2 AB 
 3 3
Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI 
 chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:
 1 1 1 1
 A. .B. .C. .D. .
 2 8 4 7
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI .
 1
 V R2.OI 
 3
 Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại 
 H , cắt đường sinh OM tại N . Khi đó mặt phẳng 
 này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối 
 R OI
 nón mới có bán kính r , có chiều cao là 
 2 2
 2
 1 R OI .R2.OI
 V1 . Phần dưới là khối 
 3 2 2 24
 nón cụt có thể tích 
 R2.OI R2.OI 7 R2.OI
 V V V .
 2 1 3 24 24
 R2.OI
 V1 24 1
 Vậy tỉ số thể tích là: 2 
 V2 7 R .OI 7
 24 h2 4R2 h2
 S 2 rh h 4R2 h2 ,
 2
 a2 b2
 (dùng BĐT ab ). 
 2
 2 2 2 2
 Vậy .S max 2 R h 4R h h R 2
Câu 8: (BẮC YÊN THÀNH) Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ 
 (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính 
 theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường thẳng d . 
 13 3 a3 11 3 a3
 A. .B. .
 96 96
 3 a3 11 3 a3
 C. .D. .
 8 8
 Chọn B.
 Nếu ba hình tam giác không chồng lên nhau thì
 3a3
 thể tích của khối tròn xoay là V 
 1 8
 3a3
 Thể tích phần bị chồng lên là V 
 2 96
 11 3 a3
 Thể tích cần tính là V V V 
 1 2 96
 Hoặc làm như sau:
 Đặt V1;V2 ;V3;V4 lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giácOAB quay quanh OB , khối 
 tròn xoay sinh bởi hình BCFE;GCHK , khối nón sinh bởi tam giác DEB khi quay quanh 
 BC . Khi đó: Thể tích khối cần tìm là:
 1 a2 a 3 1 a2 a 3 11 3 a3
 V V V V 3V 2V 3    2    .
 1 2 3 1 4 3 4 2 3 16 4 96
Câu 9: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 1, đáy lớn 
 CD 3 , cạnh bên AD 2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn 
 xoay tạo thành.
 4 7 5
 A. V 3 .B. V .C. V . D. V .
 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 Theo hình vẽ: AH HD 1.
 Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể AKM vuông tại K. Ta thấy IK r là bán kính đáy của chóp, AI h là chiều cao của chóp.
 IK 2 AI.IM r 2 h 6 h .
 1 1
 V r 2h h2 6 h 0 h 6 .
 3 3
 1
 V h2 6 h max y h3 6h2 max trên 0;6 
 max 3
Câu 12: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi trên 
 nửa đường tròn đó, đặt C· AB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm 
 sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt 
 giá trị lớn nhất.
 1
 A. 60.B. 45.C. arctan . D. 30 .
 2
 Hướng dẫn giải
 Đáp án: C. 
 AC AB. cos 2R.cos 
 CH AC.sin 2R.cos .sin ;
 AH AC.cos 2R.cos2 
 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 
 1 8
 V AH. CH 2 R3.cos4 .sin2 .
 3 3
 Đặt t cos2 0 t 1 
 8
 V R3t 2 1 t 
 3
 3
 8 3 8 3 t t 2 2t 
 R .t.t 2 2t R 
 6 6 3 
 2 1
 Vậy V lớn nhất khi t khi arctan .
 3 2
  Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f t t 2 1 t 
Câu 13: (SỞ GD BẮC NINH) Cho một hình nón N có đáy là hình tròn tâm O . Đường kính 2a và 
 đường cao SO a . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng P vuông góc 
 với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn C . Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình 
 tròn C có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
 2 a3 4 a3 7 a3 8 a3
 A. . B. . C. . D. .
 81 81 81 81 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC :
 AB.BC.AC a.2a.a 3
 AH a
 4.S a2 3
 ABC 4.
 2
 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC : 
 2
 2 2 2 a a 5
 R OA AH OH a 
 2 2
 Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
 2
 2 a 5 2
 S 4 R 4 . 5 a
 2 
 Chọn đáp án D
Câu 15: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . 
 Tập hợp các điểm M sao cho MA2 MB2 MC2 MD2 2a2 là
 a 2
 A. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng . 
 2
 a 2
 B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng .
 4
 a 2
 C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng .
 2
 a 2
 D. Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng .
 4
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Gọi K là trung điểm IJ . (Lúc này, K là trọng 
 tâm tứ diện).
 Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
 AB2 a2
 MA2 MB2 2MI 2 2MI 2 
 2 2
 CD2 a2
 MC2 MD2 2MJ 2 2MJ 2 
 2 2