Chuyên đề Ôn thi THPT Toán 12 - Chủ đề 4: Số phức (Vận dụng cao)

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
 Chủ đề 4. SỐ PHỨC
Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức z1, z2 khác nhau thỏa mãn: z1 z2 . Chọn 
phương án đúng:
 z z z z
 A. 1 2 0 . B. 1 2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 .
 z1 z2 z1 z2
 z z z z
 C. 1 2 là số thực. D. 1 2 là số thuần ảo.
 z1 z2 z1 z2
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 Phương pháp tự luận:
 z1 z2
 Vì z1 z2 và z1 z2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w và z1 z2 a , ta 
 z1 z2
 có
 a2 a2
 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
 w 2 2 w
 z z z z a a z z
 1 2 1 2 2 1
 z1 z2
 Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D.
 Phương pháp trắc nghiệm:
 z1 z2 1 i
 Số phức z1, z2 khác nhau thỏa mãn z1 z2 nên chọn z1 1; z2 i , suy ra i 
 z1 z2 1 i
 là số thuần ảo. Chọn D.
Câu 2: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2. Trong 
mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2z 1 i là hình tròn có diện tích
 A. S 9 . B. S 12 . C. S 16 . D. S 25 .
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 w 1 i
 w 2z 1 i z 
 2
 w 1 i
 z 3 4i 2 3 4i 2 w 1 i 6 8i 4 w 7 9i 4 1 
 2
 2 2
 Giả sử w x yi x, y ¡ , khi đó 1 x 7 y 9 16
 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 7; 9 , bán kính r 4.
 Vậy diện tích cần tìm là S .42 16 . z 3 z 3 8 x 3 yi x 3 yi 8
 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 8
 MF1 MF2 8, F1( 3,0), F2 (3,0)
 Vậy tập hợp điểm M là Elip 
 x2 y2
 1 z x2 y2 OM
 16 7 
 Do đó M max z 4 . m min z 7 .
 Vậy M m 4 7 .
Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Giá trị lớn nhất 
của z 1 i là 
 A. 13 2 . B. 4 .C. 6 .D. 13 1.
 Hướng dẫn giải
 Chọn D
 Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x 2 y 3 i .
 2 2
 Theo giả thiết x 2 y 3 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên 
 đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1.
 M2
 2 2
 Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 y i x 1 y 1 .
 M1 I
 2
 M x; y H 1;1 HM x 1 2 y 1
 Gọi và thì . H
 Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với 
 đường tròn.
 x 2 3t
 Phương trình HI : , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 
 y 3 2t
 2 2 1 3 2 3 2 
 9t 4t 1 t nên M 2 ;3 ,M 2 ;3 .
 13 13 13 13 13 
 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1.
Câu 6: (THTT – 477) Cho z1, z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1. 
Khẳng định nào dưới đây là sai ?
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 A. z1 z2 z3 z1 z2 z3 . B. z1 z2 z3 z1 z2 z3 .
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 C. z1 z2 z3 z1 z2 z3 . D. z1 z2 z3 z1 z2 z3 . 2
Câu 9: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phức z thỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên 
 2
 1
là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là một 
 iz y
 Q
trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là
 A. điểm Q . B. điểm M . 
 C. điểm N . D.điểm P . M A
 Hướng dẫn giải O x
 N
 Đáp án: D.
 Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng 
 Oxy nên gọi z a bi (a,b 0) . P
 2 2
 Do z nên a2 b2 .
 2 2
 1 b a
 Lại có w i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba 
 iz a2 b2 a2 b2
 của mặt phẳng Oxy .
 1 1
 w 2 2 z 2OA .
 iz i . z
 Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .
 5i
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1 .
 z
 A. 5. B. 4. C. 6. D. 8.
 Hướng dẫn giải
 5i 5i 5
 Ta có: A 1 1 1 6. Khi z i A 6.
 z z z
 Chọn đáp án C.
 z 2z 3i
Câu 11: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn 
 z2 2
   
 2 i z i 3 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON 2 , trong đó 
   
 Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong 
góc phần tư nào?
 A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II).
 C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV).
 Hướng dẫn giải Suy ra: f z 15 z z1 z z2 z z3 z z4 . Vì 
 f i . f i 
 z2 1 z i z i P 1 .
 1 1 1 225
 4 4 4 17
 Mà f i i4 i 1 5; f i 3i i 1 85. Vậy từ 1 P .
 9
 Chọn đáp án B.
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm môđun lớn nhất của số phức z 2i.
 A. 26 6 17 . B. 26 6 17 . C. 26 8 17 . D. 26 4 17 .
 Hướng dẫn giải
 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ z 2i x y 2 i . Ta có: 
 2 2
 z 1 2i 9 x 1 y 2 9 .
 Đặt x 1 3sint; y 2 3cost; t 0; 2 .
 2 2 2
 z 2i 1 3sint 4 3cost 26 6 sint 4cost 26 6 17 sin t ; ¡ .
 26 6 17 z 2i 26 6 17 z 2i 26 6 17 .
 max
 Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z .
 A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20.
 Hướng dẫn giải
 2 2 2 2
 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 x y 1 y 1 x x 1;1 .
 2 2
 Ta có: P 1 z 3 1 z 1 x y2 3 1 x y2 2 1 x 3 2 1 x .
 Xét hàm số f x 2 1 x 3 2 1 x ; x 1;1 . Hàm số liên tục trên 1;1 và với 
 1 3 4
 x 1;1 ta có: f x 0 x 1;1 .
 2 1 x 2 1 x 5
 4 
 Ta có: f 1 2; f 1 6; f 2 20 Pmax 2 20.
 5 
 Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 . Tính giá trị của M.m .
 13 3 39 13
 A. . B. . C. 3 3. D. .
 4 4 4
 Hướng dẫn giải