Chuyên đề Ôn thi THPT Toán 12 - Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng (Vận dụng cao)

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
 Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi S t là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 1
 y , y 0, x 0 , x t (t 0) . Tìm lim S t .
 x 1 x 2 2 t 
 1 1 1 1
 A. ln 2 . B. ln 2 . C. ln 2 . D. ln 2 .
 2 2 2 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 Cách 1:
 1 a bx c
 *Tìm a,b,c sao cho 
 x 1 x 2 2 x 1 (x 2)2
 2
 1 a x 2 bx c x 1 1 ax2 4ax 4a bx2 bx cx c
 a b 0 a 1
 1 a b x2 4a b c x 4a c 4a b c 0 b 1 .
 4a c 1 c 3
 1
 *Vì trên 0;t, y 0 nên ta có:
 x 1 x 2 2
 t 1 t 1 x 3 
 Diện tích hình phẳng: S t dx dx
 2 x 1 2 
 0 x 1 x 2 0 x 2 
 t
 t 1 1 1 x 1 1 
 2 dx ln 
 x 1 x 2 x 2 x 2
 0 x 2 0
 t 1 1 1
 ln ln 2 .
 t 2 t 2 2
 t 1 t 1 1
 *Vì lim 1 lim ln 0 và lim 0
 t t 2 t t 2 t t 2
 t 1 1 1 1
 Nên lim S t lim ln ln 2 ln 2 .
 t t t 2 t 2 2 2
 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay. Đáp án: C.
 a b
 2017 1 x 1 x 
Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử x 1 x dx C với a,b là 
 a b
 các số nguyên dương. Tính 2a b bằng:
 A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 .
 Hướng dẫn giải
 Ta có:
 2018 2019
 2017 2017 2017 2018 1 x 1 x 
 x 1 x dx x 1 1 1 x dx 1 x 1 x dx C
 2018 2019
 Vậy a 2019,b 2018 2a b 2020 .
 Chọn D.
 1
Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và 
 ex 3
 1
 F 0 ln 4 . Tập nghiệm S của phương trình 3F x ln x3 3 2 là:
 3
 A. S 2 .B. S 2;2. C. S 1;2 . D. S 2;1.
 Hướng dẫn giải
 dx 1 ex 1
 F x 1 dx x ln ex 3 C
 Ta có: x x .
 e 3 3 e 3 3
 1 1
 Do F 0 ln 4 nênC 0 . Vậy F x x ln ex 3 .
 3 3 
 Do đó: 3F x ln ex 3 2 x 2
 Chọn A.
Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn 2;6 và 
 3 6 6
 thỏa mãn f (x)dx 3; f (x)dx 7; g(x)dx 5 . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
 2 3 3
 6 3
 A. [3g(x) f (x)]dx 8 B. [3 f (x) 4]dx 5
 3 2
 ln e6 ln e6
 C. [2f (x) 1]dx 16 D. [4 f (x) 2g(x)]dx 16
 2 3
 Hướng dẫn giải dt
 t 5 3x dx 
 3
 Để tỉnh P ta đặt x 0 t 5 nên 
 x 2 t 1
 1 dt 1 5 1 5 5 
 P [f (t) 7]( ) [f (t) 7]dt f (t)dt 7 dt 
 5 3 3 1 3 1 1 
 1 1
 .15 .7.(6) 19
 3 3
 chọn đáp án D
Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f x asin 2x bcos 2x thỏa mãn 
 b
 f ' 2 và adx 3 . Tính tổng a b bằng:
 2 a
 A.3. B. 4. C.5. D.8.
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 f ' x 2a cos 2x 2bsin 2x
 f ' 2 2a 2 a 1
 2 
 b b
 adx dx 3 b 1 3 b 4
 a 1
 Vậy a b 1 4 5.
 ln 2 1 1 5
 x dx lna 2 bln 2 cln .
Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: x Trong đó 
 0 2e 1 2 3
 a,b,c là những số nguyên. Khi đó S a b c bằng: 
 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 ln 2 1 ln 2 ln 2 1
 x dx xdx dx
 x x . 
 0 2e 1 0 0 2e 1
 ln 2
 ln 2 x2 ln2 2
 Tính xdx 
 0 2 0 2
 ln 2 1
 dx
 Tính x
 0 2e 1
 dt
 Đặt t 2ex 1 dt 2exdx dx . Đổi cận : x ln 2 t 5, x 0 t 3.
 t 1 u x du dx
 Đặt dx 1 . Ta có
 dv v tan x
 1 cos 2x 2
 1 1 1 1 1 1 1 1
 I x tan x 4 4 tan xdx ln cos x 4 ln ln 2 a ,b 
 2 2 0 8 2 8 2 8 4 8 4
 0 0 2
 Do đó, 16a 8b 4 .
 1 5 3 5
Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử f x dx 3 và f z dz 9 . Tổng f t dt f t dt 
 0 0 1 3
 bằng
 A. 12. B. 5. C. 6. D. 3.
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 1 1 5 5
 Ta có f x dx 3 f t dt 3 ; f z dz 9 f t dt 9
 0 0 0 0
 5 1 3 5 3 5
 9 f t dt f t dt f t dt f t dt 3 f t dt f t dt
 0 0 1 3 1 3
 3 5
 f t dt f t dt 6.
 1 3
 ln 2 e2x 1 1 a
 dx e a.b
Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân x . Tính tích .
 0 e b
 A. 1. B. 2. C. 6. D. 12.
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 ln 2 e2x 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
 dx ex 1dx e xdx ex 1d x 1 e xd x
 x 
 0 e 0 0 0 0
 ln 2
 x 1 x ln 2 1 1
 e e 2e e 1 e a 1,b 2 ab 2 .
 0 0 2 2
 3 sin x 3 3 2
Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết dx c d 3 với a, b, c, d 
 6 3
 1 x x a b
 3
 là các số nguyên. Tính a b c d . 
 A. a b c d 28 . B. a b c d 16. C. a b c d 14. D. a b c d 22 .