Chuyên đề Ôn thi THPT Toán 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng (Vận dụng cao)

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
 Chủ đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y x 3 mx 5, m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều 
 nhất bao nhiêu điểm cực trị
 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 Ta có: y x6 mx 5
 3
 3x5 3x5 m x
 Suy ra: y m và hàm số không có đạo hàm tại x 0 .
 x 3 x 3
 5x5
 TH1: m 0 . Ta có: y 0 vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x 0 .
 x 3
 x 0 
 y 
 y
 Do đó hàm số có đúng một cực trị.
 3 x 0 m
 y 0 3x5 m x x
 TH2: m 0 . Ta có: 5 3 
 3x mx 3
 Bảng biến thiên
 x m
 0 
 3
 y 0 
 y
 Do đó hàm số có đúng một cực trị.
 3 x 0 m
 y 0 3x5 m x x
 TH3: m 0 . Ta có: 5 3 
 3x mx 3 Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân 
 1
 biệt 3x2 2x m 0 (1) có hai nghiệm phân biệt 1 3m 0 m .
 3
 Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT là hoành độ hai điểm cực trị. Theo định lí Viet 
 2
 xCĐ xCT 0 (2)
 3 3
 ta có , trong đó xCĐ xCT vì hệ số của x lớn hơn 0.
 m
 x .x (3)
 CĐ CT 3
 Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: xCT 0 , kết hợp (2) và 
 m
 (3) suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu x .x 0 m 0.
 CĐ CT 3
 2
Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình x3 x x 1 m x2 1 có nghiệm thực khi và 
 chỉ khi:
 3 1 3
 A. 6 m . B. 1 m 3.C. m 3 . D. m .
 2 4 4
 Hướng dẫn giải
 Sử dụng máy tính bỏ túi.
 2
 x3 x x 1 m x2 1 mx4 x3 2m 1 x2 x m 0
 Chọn m 3 phương trình trở thành 3x4 x3 5x2 x 3 0 (không có nghiệm thực) nên 
 loại đáp án B, C.
 Chọn m 6 phương trình trở thành 6x4 x3 13x2 x 6 0 (không có nghiệm thực) 
 nên loại đáp án A.
 Kiểm tra với m 0 phương trình trở thành x3 x2 x 0 x 0 nên chọn đáp án D.
 Tự luận
 3 2
 3 2 2 x x x
 Ta có x x x 1 m x 1 m 4 2 (1)
 x 2x 1
 x3 x2 x
 Xét hàm số y xác định trên ¡ .
 x4 2x2 1 9a 3
 f a f b 2 1
 3 9a 3 9a
Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 
 y x3 3x2 mx m 2 nằm về hai phía so với trục hoành?
 A. m 3 . B. 1 m 2 . C. m 3 . D. 2 m 3.
 Hướng dẫn giải
 Chọn C. 
 Ta có: y 3x2 6x m .
 Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt.
 Do đó 9 3m 0 m 3.
 Gọi x1 , x2 là điểm cực trị của hàm số và y1 , y2 là các giá trị cực trị tương ứng.
 3 2 1 1 2 2
 Ta có: y x 3x mx m 2 y . x m 2 x m 2 nên y1 k x1 1 , 
 3 3 3 3
 y2 k x2 1 .
 Yêu cầu bài toán 
 m
 y .y 0 k 2 x 1 x 1 0 x x x x 1 0 2 1 0 m 3.
 1 2 1 2 1 2 1 2 3
 Vậy m 3 thỏa mãn bài toán.
Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, 
 cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 3mx 2 cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại 
 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
 2 3 1 3 2 5 2 3
 A. m . B. m . C. m . D. m .
 2 2 2 3
 Hướng dẫn giải
 Chọn A.
 A
 2 2 Δ
 Ta có y 3x 3m nên y 0 x m . H
 B
 Đồ thị hàm số y x3 3mx 2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 
 I
 m 0 .
 1 1
 Ta có y x3 3mx 2 x 3x2 3m 2mx 2 x.y 2mx 2 .
 3 3
 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3mx 2 có phương trình 
 : y 2mx 2
 1 1 1
 Ta có: S .IA.IB.sin ·AIB sin ·AIB 
 IAB 2 2 2 Hướng dẫn giải
 Chọn B.
 x
 x, y dương ta có: xy 4y 1 xy 1 4y 4y2 1 0 4 .
 y
 y x 
 Có P 12 6 ln 2 .
 x y 
 x
 Đặt t , điều kiện: 0 t 4 thì 
 y
 6
 P f t 12 ln t 2 
 t
 6 1 t 2 6t 12
 f t 
 t 2 t 2 t 2 t 2 
 t 3 21
 f t 0 
 t 3 21
 t 0 4
 f t 
 P f t 
 27
 ln 6
 2
 27
 Từ BBT suy ra GTNN P ln 6 khi t 4
 2
 27
 a , b 6 ab 81.
 2
 ax2 x 1
Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y có đồ thị C ( a,b là các hằng số 
 4x2 bx 9
 dương, ab 4 ). Biết rằng C có tiệm cận ngang y c và có đúng 1 tiệm cận đứng. Tính 
 tổng T 3a b 24c
 A. T 1. B. T 4. C. T 7. D. T 11.
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 1 3m 0
 0 
 1
 m 
 0 1 3m 0 3
 * x x 1 1 m 1
 1 2 1 1 m 
 2 3 3
 x 1 x 1 0 m 2 m 1
 1 2 
 1 0
 3 3
Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng y 3m 1 x 6m 3 cắt đồ thị hàm số 
 y x3 3x2 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. 
 Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
 3 3
 A. ( 1;0) .B. (0;1) . C. (1; ) .D. ( ;2) .
 2 2
 Hướng dẫn giải.
 Chọn A.
 Yêu cầu bài toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số 
 cộng
 x3 3x2 1 3m 1 x 6m 3 x3 3x2 3m 1 x 6m 2 0 .
 3 2
 Giả sử phương trình x 3x 3m 1 x 6m 2 0 có ba nghiệm x1, x2 , x3 thỏa mãn
 x x
 x 1 3 (1) .
 2 2
 Mặt khác theo viet ta có x1 x2 x3 3 (2) . Từ (1) và (2) suy ra x2 1. Tức x 1là một 
 1
 nghiệm của phương trình trên. Thay x 1vào phương trình ta được m . 
 3
 1
 Thử lại m thỏa mãn đề bài.
 3
Câu 14: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị 
 4x2 1 3x2 2
 y là:
 x2 x
 A. 2. B.3. C. 4. D.1.
 Hướng dẫn giải
 Chọn A.
 1 1 
 Tập xác định: D ;  ;1  1; 
 2 2 
 Tiệm cận đứng: 
 4x2 1 3x2 2 4x2 1 3x2 2
 lim y lim ; lim y lim 
 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 
 Suy ra x 1 là tiệm cận đứng.
 Tiệm cận ngang: 
 4 1 2
 3 
 4x2 1 3x2 2 2 4 2
 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang
 x x 2 x 1
 x x 1 
 x