Chuyên đề Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm

 CHUYÊN ĐỀ
 Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số 
bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm.
I. MỞ ĐẦU
 1. Lý do chọn đề tài
 Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ 
thông là đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá. Việc 
đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp kiểm tra đánh giá môn Toán hiện 
nay là nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc 
tiếp thu kiến thức qua đó khai thác vận dụng những kỹ năng để giải toán.
 Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT , cũng như các kỳ thị lớp lớp 12 ở 
những năm gần đây đều thi dưới hình thức thi trắc nghiệm nên đòi hỏi kỹ năng 
giải toán phải linh hoạt, sáng tạo không thụ động. Khi đứng trước một bài toán 
học sinh phải hình dung và định hướng được ngay cách giải mới đáp ứng được 
kết quả cao. Qua quá trình giảng dạy ở trường phổ thông nhiều năm bản thân tôi 
đã trực tiếp dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, trung bình đến bồi dưỡng học 
sinh khá; song, tôi nhận thấy rằng việc giải một bài toán trắc nghiệm học sinh 
mất phương hướng, đặc biệt là đối với đối tượng học sinh có học lực yếu, trung 
bình cũng như khá để tìm ra đáp án đúng, đôi khi học sinh giải bài toán đó như 
theo hướng tự luận mất rất nhiều thời gian, trong khi, yêu cầu bình quân mỗi câu 
trắc nghiệm chỉ mất tối đa là gần 2,0 phút phải cho đáp số ở những câu hỏi dạng 
nhận biết.
 Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu 
đổi mới hiện nay, làm sao cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị 
động trước các bài toán ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dùng về hàm số; 
 Sau đây tôi xin giới thiệu một kinh nghiệm đó là:
 1 y' 0 có y y
 nghiệm kép 
 0
 hay y/
 O x
 O x
 y' 0 vô y y
 nghiệm hay 
 0 O
 y/ x
 O x
 Chú ý: y(0) = c
Từ bảng tổng hợp trên nhận thấy: 
 * Khi a 0 , từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi lên. (hay nhánh 
bên phải chỉ thiên)
 * Khi a 0 , từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi xuống .(hay 
nhánh bên phải độn thổ)
 Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp số 
đúng.
 * y 0 c hay đồ thị đi qua điểm (0;c)
 * Tuỳ vào PT y’=0 có nghiệm hay không để kết luận hàm số có hay 
không có cực trị.
 1.2. Đối với hàm số bậc 4 trùng phương: y ax4 bx2 c
 Một số vấn đề về lý thuyết về đồ thị cần nhớ.
 3 Cho 1 hình ảnh đồ thị và 4 hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng.
 Cho 1 hình ảnh đồ thị và 1 hàm số tìm mỗi liên hệ giữa các hệ số.
 Nếu giải nhanh bài toán trên theo các bước khảo sát để tìm ra đồ thị thì 
quả thật mất rất nhiều thời gian.
 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 3.1. Các ví dụ về hàm số bậc 3 y ax3 bx2 cx d
 Ví dụ 1. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn 
 hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là 
 hàm số nào?
 A. y = x3 + 3x2 – 2 B. y = x3 - 3x2 - 2
 C. y = -x3 - 3x2 – 2 D. y = -x3 + 3x2 - 2
Giải 
 Nhìn đồ thị có nhánh bên phải chỉ thiên, suy ra a > 0 nên loại C và D
 Mà đồ thị có 2 điểm cực trị x= 0 và x = -2 suy ra loại B
 Chọn A
 Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn 
 hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là 
 hàm số nào?
 5 A. y x3 x 1 B. y x3 3x 1 C. y x3 x2 D. y x3 3x 1.
Lời giải
 Vì đồ thị có nhánh bên phải chỉ thiên nên a 0 suy ra loại A và B, mặt khác 
đồ thị hàm số này không đi qua gốc tọa độ, nên loại C
 Chọn D 
 Ví dụ 5. Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án 
 A, B,C, D . Hỏi đó là hàm số nào?
A. . B. . C. . D. .
 Lời giải
Nhìn đồ thị có nhánh bên phải chỉ thiên suy ra a > 0 nên loại D
Mà đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại A
Xét phương án B có y ' 3x2 6x và y ' đổi dấu khi đi qua các điểm x 0; x 2 
nên hàm số đạt cực tri tại x 0 và x 2 , loại phương án B
 Chọn C
Ví dụ 6 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số 
được liệt kê ở bốn phương án A, B,C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
 A. y x2 x 1 B. y x3 3x 1 C. y x3 1 D. y x3 3x 1
 Giải
Vì đồ thị có nhánh bên phải chỉ thiên nên a 0 suy ra loại đáp án A và B, hơn 
nữa đây là đồ thị hàm số bậc 3 có 2 điểm cực trị nên loại C 
Chọn D
Ví dụ 8. Đường cong trong hình bên dướ i là đồ thị của một hàm số trong 
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó 
là hàm số nào?
 7 có 2 điểm cực trị ; y(0) = 2 nên loại Hình 2
 Chọn A ( Hình 1)
Ví dụ 10. Đường cong trong hình bên dướ i là đồ thị của một hàm số trong 
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó 
là hàm số nào?
 A. y x3 3x 1. B. y x3 3x2 1.
 C. y x3 3x2 3x 1.D. y x3 3x2 1.
 Giải
 Nhìn dạng đồ thị thấy a > 0 , suy ra loại B và D.
 Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm (1;2) và y ' 0,x suy ra loại A.
 Chọn C.
 Ví dụ 11. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong 
 bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó 
 là hàm số nào?
 A. y = x3 - 3x2 + 3x + 1 B. y = x3 - 3x2 - 3x - 1
 C. y = x3 - 3x2 + 3x – 1 D. y = -x3 + 3x2 - 3x – 1
Giải 
 9 Từ hình dáng đồ thị ta suy ra hệ số a 0 loại đáp án C.
 Ta có: y' = 3ax2 + 2bx + c
 Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên y'(0) = 0 ⇒ c = 0 loại đáp án A.
 Khi đó: y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2b/3a
 Do hoành độ điểm cực đại dương nên -2b/3a > 0, mà a 0.
 Chọn D.
Ví dụ 14. Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Khẳng định nào là đúng?
 A. a 0, b> 0, c > 0, d > 0
 C. a > 0, b > 0, c 0 D. a > 0, b 0
 + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a 0 .
+ Đồ thị cắt trục 0y tại điểm có tọa độ 0;d . Dựa vào đồ thị suy ra d 0 .
+ Ta có: . Hàm số có hai điểm cực trị , trái dấu 
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 , trái dấu. Vì thế 3a.c 0 , 
nên suy ra c 0 .
 x1 1
+ Mặt khác từ đồ thị ta thấy nên x1 x2 0 .
 x2 1
 2b 2b
Mà x x nên suy ra 0 b 0
 1 2 3a 3a
Vậy a 0, b0
Chọn D
 11 Ví dụ 17. Cho hàm số y ax3 3x d a;d ¡ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề 
nào dưới đây đúng?
A. a 0,d 0 . B. a 0,d 0 . C. a 0,d 0 . D. a 0,d 0 .
 Lời giải
Nhìn vào đồ thị ta có số a 0 .
 Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy : x 0 là điểm nằm bên dưới trục 
hoành nên khi x 0 y d 0.
 Chọn D
Ví dụ 18. Cho đường cong C : y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. a 0,b 0,c 0,d 0 . B. a 0,b 0,c 0,d 0 .
 C. a 0,b 0,c 0,d 0. D. a 0,b 0,c 0,d 0.
 Lời giải
 Từ đồ thị ta có x 0 y d 0, từ dạng đồ thị suy ra a 0 .
Mặt khác y ' 3ax2 2bx c từ đồ thị ta có phương trình y ' 0 có hai nghiệm trái 
dấu suy ra ac 0 mà a 0 suy ra c 0 .
 2b
Hơn nữa phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1 suy ra 
 1 2 3a
 3a 2b b 0 .
 Chọn D.
 Ví dụ 19. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a,b,c,d ¡ có đồ thị là đường cong 
trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ?
 13 Ví dụ 21 Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a,b,c,d R có đồ thị là đường cong 
trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?
 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Lời giải
Ta có: y 3ax2 2bx c
Dựa vào đồ thị ta thấy a 0
 2
 0 b 9ac 0
 y 
 2b b 0
Hàm số có 2 cực trị âm nên S 0 0 
 3a c 0
 P 0 
 c
 0
 3a
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm 0;d nên d 0
Vậy có đúng 1 số dương trong các số a, b, c, d .
ChọnC.
 Qua một số ví dụ trên, ta có các bước nhận biết về dấu hiệu để giải 
các bài tập dạng trên:
 Bước 1: Xác định dấu hệ số a và dựa vào: Khi a 0 ,. Nhánh bên phải chỉ 
thiên.Khi a 0 , nhánh bên phải độn thổ để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm 
số) không phù hợp.
 Bước 2: Xác định tương giao với Oy: y(0) = c, quan sát hàm số hoặc đồ 
thị để loại tiếp các phương án không phù hợp
 Bước 3: Xác định trên đồ thị sự tương giao với ox (nếu hoành độ điểm 
tương giao x0 có giá trị nguyên) kiểm tra y( x0 )=0 cho ra đáp án đúng.
 Chú ý: Nếu x0 không nguyên thì không xét bước 3.
 15