Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán Lớp 8

 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 
A. LÝ THUYẾT: 
 2
1. Bình phương của một tổng: AB A22 ABB 2 
 2
2. Bình phương của một hiệu: AB A22 ABB 2 
3. Hiệu hai bình phương: A2 B 2 ABAB 
 3
4. Lập phương của một tổng: AB A33 AB 2 3 AB 2 B 3 
 3
5. Lập phương của một hiệu: AB A33 AB 2 3 AB 2 B 3 
6. Tổng hai lập phương: A3 B 3 ABA 2 ABB 2 
7. Hiệu hai lập phương: A3 B 3 ABA 2 ABB 2 
Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi 
biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, 
 2
1. Tổng hai bình phương: AB2 2 AB 2 AB 
 3
2. Tổng hai lập phương: A3 B 3 AB3 ABAB 
3. Bình phương của tổng 3 số hạng: 
 2
 ABC A2 B 2 C 2 2 ABBCCA 
4. Lập phương của tổng 3 số hạng: 
 3
 ABC ABC3 3 3 3 ABBCCA 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: 
Dạng 1: Biến đổi biểu thức 
Phương pháp: 
Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức. 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
 2 2 2 2
a) 3x 2 y b) x xy c) x2 4 y 2 d) xy 2 y 
Giải 
a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
 2 2 2
 3xy 2 3 x 2 3 xy 2 2 y 9 x2 12 xyy 4 2 
b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
c) x 1 xx2 1 x 1 xx 2 1 
 3 3
d) xy xy 
 2 2
e) xx2 3 1 3 x 1 2 xxx 2 3 1 3 1 
Giải 
a) a b c d a b c d 
 2 2
 abcd . abcd ab cd 
 a22 ab b 2 c 2 2 cd d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 ab 2 cd 
b) xyzxyz 2 3 2 3 xz 3 2 yxz . 3 2 y 
 2 2
 xz2 2 y x2 6 xzz 9 2 4 y 2 
c) xxxxxx 1 2 1 1 2 1 x 3 1 x 3 1 x 6 1 
 3 3
d) xy xy 
 x33 xy 2 3 xy 2 y 3 x 3 3 xy 2 3 xy 2 y 3 
 x33 xy 2 3 xy 2 y 3 x 3 3 xy 2 3 xy 2 y 3 
 6xy2 2 y 3 2 yx 3 2 y 2 
 2 2
e) xx2 3 1 3 x 1 2 xxx 2 3 1 3 1 
 2
 2 22 2 2
 xx 3 1 3 x 1 xxx 3 1 3 1 x 2 
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức 
Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau: 
- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần 
tính giá trị. 
- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức 
có liên quan đến giá trị đề bài đã cho. 
- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị. 
Bài 1: Cho x y 1. Tính giá trị biểu thức sau: A x33 xy y 3 
Giải 
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được: 
Ax 3 y 33 xy xyx 2 xyy 2 3 xy 
 2
 x 1 xx 1 1 x 1 x 1
 x 1 xx2 1 x 1 2 xx2 1 x 1
 3 1 3 1 2 28
Thay x 3 vào ta được: 2 
 32 3 1 3 1 13 13
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
Phương pháp: 
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A x . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng: 
mQx 2 m (với m là hằng số) GTLN của Ax m. 
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A x . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng 
Q2 x n n (với n là hằng số) GTNN của A x n . 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
a) A x2 2 x 5 b) B 9 x 3 x2 4 
Giải 
 2
a) Ta có: Axx 22 5 xx 2 2 1 6 6 x 1 6 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x 1 0 x 1. 
b) Ta có: 
 2
 2 9 3 2 27 43 3 43
Bxx 9 3 4 3 2. . xx 4 3 x 
 4 2 4 4 2 4
 43 3 3
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là khi x0 x . 
 4 2 2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a) A 8 x2 8 x 14 b) Bx 2 x 2 
Giải 
a) Ta có: Axx 82 8 14 2 4 xx 2 4 1 12 
 2
 2 2x 1 12 12 
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi 2x 1 0 x . 
 2
 2
 2 2 1 1 1 1 7 7
b) Ta có: Bxxx 2 2. . x 2 x 
 2 4 4 2 4 4
 7 1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là khi x 0 x . 
 4 2 2
2. Tính giá trị biểu thức 
aAx) 2 0, 2 x 0,01 tại x 0,9. 
bBx) 3 3 x 2 3 x 2 tại x 19 . 
cCx) 4 2 x 3 3 x 2 2 x 2 tại x2 x 8 
Giải 
a ) Ta có : 
 2
Ax 0, 2 x 0,01 
 2
 x2 0, 2 x 0,1 
 2
 x 0,1 
 2
Với x 0,9 A 0,9 0,1 1 
b) Ta có: 
 3 2
Bx 3 x 3 x 2 
 3
 xxx33 2 3 1 1 x 1 1 
 3
Với x 19 thì B 19 1 1 8000 1 8001 
c) Ta có : 
 4 3 2
Cx 2 x 3 x 2 x 2 
 4 3 2 2
 x2 xx 2 x 2 x 2 
 2
 xx2 2. xx 2 1 1 
 2
 x2 x 1 1 
 2
Với xx2 8 C 8 1 1 81 1 82 . 
3. Tính hợp lý : 
 3562 144 2
a) A b) B 2532 94.253 47 2 
 2562 244 2
c) C 1632 92.136 46 2 d) D 1002 98 2 ... 2 2 99 2 97 2 ... 1 2 
Giải 
 3562 144 2 356 144 356 144 500.212 53
a) A 
 2562 244 2 256 244 256 244 500.12 3
 2
b) B 2532 94.253 47 2 253 2 2.47.253 47 2 253 47 300 2 90000 
 x y 0
 1
Dấu bằng xảy ra khi 2x 1 0 xyz 
 2
 1
 z 0
 2
 1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 khi x y z 
 4 4
6. Tìm x, biết : 
 2 2
ax) 2 x 3 2 xx 2 3 19 
bx) 2 x2 2 x 4 xx 2 5 15 
 3
cx) 1 2 x 4 2 xx2 3 xx 2 17 
Giải 
 2 2
ax) 2 x 3 2. xx 2 3 19 
 2 2
 x2 8 xx 3 12 xxx 2 2 3 19 
 2
 20xx 2 x 3 19 
 20x 1 19 
 9
 20x 18 x 
 10
bx) 2 x2 2 x 4 xx 2 5 15 
 x3 8 xx 3 5 15 
 7
 5x 8 15 5 xx 7 
 5
 3
cx) 1 2 x 4 2 xx2 3 xx 2 17 
 3
 x1 8 xxx3 3 2 6 17 
 xxx3 3 2 3 1 8 xx 3 6 17 
 9x 7 17 
 10
 9x 10 x 
 9
7. Biết xy 11 và xy2 xy 2 x y 2016 . Hãy tính giá trị : x2 y 2 
Giải 
 2 2
 x1 y 2 0 
 2 2 2 2
 x1 0; y 2 0 (vì x 1 , y 2 0) 
 x1; y 2 
bxy)42 2 20 xy 2 26 0 
 4xx2 20 25 yy 2 2 1 0 
 2 2
 2x 5 y 1 0 
 2 2 2 2
 2x 5 0 và y 1 0 (vì 2x 5 , y 1 0 ) 
 5
 x; y 1 
 2
cx)92 4 y 2 4 y 12 x 5 0 
 9xx2 12 4 4 yy 2 4 1 0 
 2 2
 3x 2 2 y 1 0 
 2 2 2 2
 3x 2 0 và 2y 1 0 (vì 3x 2 , 2 y 1 0 ) 
 2 1
 x; y 
 3 2
11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn: 
ax)2 4 y 2 4 x 4 y 10 0 bx)32 y 2 10 x 2 xy 29 0 
cx)42 2 y 2 2 y 4 xy 5 0 
Giải 
 2 2
ax) 4 y 4 x 4 y 10 0 
 2 2
 xx 4 4 4 yy 4 1 5 0 
 2 2
 x2 2 y 1 5 0 
 2 2
Mà x 2 2 y 1 5 5 0 
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài. 
 2 2
bx)3 y 10 x 2 xy 29 0 
 2 2 2
 x2 xyy 2 x 10 x 29 0 
 2 2
 xy 2 x 2,5 16,5 0 
 2 2
Mà xy 2 x 2,5 16,5 16,5 0 
 2 2
Mặt khác, từ (1) suy ra x y a b x2 y 22 xy a 2 b 2 2 ab 
Kết hợp với (3) suy ra : x2 y 2 a 2 b 2 
15. Cho a b c 2 p . Chứng minh rằng: 
 2 2 2
a)2 bc b2 c 2 a 2 4 p p a bpa) pb pc abcp2 2 2 2 
Giải 
 2
a) Ta có: 2bc b2 c 2 a 2 b c a 2 
 bcabca 2 ppa 2 4 ppa 
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh 
 2 2 2
b) Ta có : pa pb pc 
 p22 ap a 2 p 2 2 pb b 2 p 2 2 pc c 2 
 3p2 2 pabca 2 b 2 c 2 
 3p2 2 p .2 p a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 p 2 
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh 
16. Cho A 99...9 .Hãy so sánh tổng các chữ số của A2 với tổng các chữ số của A. 
 2020 ch÷ sè 9
Giải 
Ta có : 
 2
A 99...9 102020 1 nên A2 10 2020 1 
 2020 ch÷ sè 9
 104040 2.10 2020 1 99...9800...01 
 
 2019 2019
Tổng các chữ số của A2 là : 9 2019 8 1 18180 
Tổng các chữ số của A là : 9 2020 18180 
Vậy tổng các chữ số của A2 và tổng các chữ số của A bằng nhau. 
17. Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2
Nếu ab bc ca abc2 bca 2 cab 2 thì a b c . 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Giải 
 2 2 2 2 2 2
 abc 2 ab bca 2 bc cab 2 ca 0(*) 
Áp dụng hằng đẳng thức : x2 y 2 xyxy ta có :