Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức Toán 8

 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC - NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC 
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT 
I. Lý thuyết: 
1. Nhân đơn thức với đa thức 
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa 
thức rồi cộng các tích với nhau. 
AB... C AB AC 
2. Nhân đa thức với đa thức 
Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng 
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. 
 A B C D AC BC AD BD 
II. Các dạng bài tập: 
Dạng 1: Thực hiện phép tính 
Phương pháp: 
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép 
tính. 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
 2 2 1 22 2 x 1 
a) 2x x 2 x 3 b) xy xy xy 
 2 3 2 4 
 2 1 2 2 1 3 
c) 2x 1 2 x x 2 d) xy x y xy 
 3 2 2 
Giải 
a) Ta có: 2xxx2 2 2 3 2 xx 2 2 2 xx 2 2 2 x 2 3 
 2x4 4 x 3 6 x 2 . 
 22 2 x 1 
b) Ta có: xy xy xy 
 3 2 4 
 22 2 2 2 2 2x 2 2 1
 xyxy xyxy xy xy 
 3 3 3 2 3 4
 2 2 1 1
 xy3 3 xy 2 3 xy 2 2 xy 2 
 3 3 3 6
c) Ta có: 
 21 2 1 2 1 
 2xxx 1 2 2 2 xxx . 2 2 1. 2 xx 2 
 3 3 3 
 2 1 8x2 13 x
 4xxxxx3 2 4 2 2 2 4 x 3 2 
 3 3 3 3 2 2
 2xy y 2 xy xy xyxy yxy 
 xxy x.... xy 
 2 2 3 3 2 3 2 3 
 2 3 2 2 2 2 3
 2 xy y xy xy xy xy 
 x xy 
 2 2 3 3 6 6 
 xy y2 xy 3 xy 2 2 xy 2 2 xy 3
 x2 xy 
 2 2 3 3 6 6
 3xy y2 xy 3 xy 2 2 xy 3
 x2 
 2 2 3 2 6
Bài 3: Tìm giá trị biểu thức 
a) Axx 2 32 5 xxx 3 2 x 2 tại x 2 . 
b) B xyx 2 xy xx 2 2 y 2 tại x 2 ; y 3 . 
c) C 6 xxxx2 2 4 2 4 xx 2 2 x 3 tại x 4. 
d) D xx 2 xyy 2 yx 2 xyy 2 tại x 5; y 1. 
Giải 
a) Ta có: 
Axx 2 32 5 xxx 3 2 x 2 2 xx .3 2 2 x .5 xxxxx .3 . 2 2 
 6x3 10 xxxx 3 2 3 2 7 xx 3 4 2 10 x 
Tại x 2 thay vào ta được: A 7.23 4.2 2 10.2 56 16 20 60 
Vậy A 60 . 
b) Ta có: B xyx 2 xy xx 2 2 y 2 
 xx 2 xy yx 2 xy xx. 2 xy .2 2 
 xx.2 xxy . yx . 2 yxy . x 3 2 xy 2 
 x3 xyxyxy 2 2 2 x 32 xy 2 2 xyxy 2 2 
Tại x 2 ; y 3 thay vào ta được: B 2.22 . 3 2. 32 24 18 6 
Vậy B 6 . 
c) Ta có: C 6 xxxx2 2 4 2 4 xx 2 2 x 3 
 6xxxxxx2 6 4 3 2 2 4 3 8 2 12 x 
 6xxxxxx2 6 4 3 2 2 4 3 8 2 12 xxxx 12 6 6 
Tại x 4 thay vào ta được: C 6 4 24 
Vậy C 24 . 
d) Ta có: D xx 2 xyy 2 yx 2 xyy 2 a) 3x2 4 xx 1 1 7 xx 1 x 12 
b) 2xx 3 4 xx 5 2 3 xx 5 4 
c) xyxy3n 3 n 3 n 3 n xy 6 n 6 n (với n 0 ) 
d) 2 x2n 2 xyy n n 2 n yxy n 4 n n y 2 n (với n 0 ) 
Giải 
a) Ta có: 3x2 4 xx 1 1 7 xx 1 x 12 
 3x2 4 xxx 2 1 7 xxx 2 7 12 
 3xxxx2 4 2 4 4 4 7 xxx 2 7 12 
 16
 4 7xx 12 6 x 16 x 
 6
 16
Vậy x 
 6
b) Ta có: 2xx 3 4 xx 5 2 3 xx 5 4 
 2xxx2 3 8 12 xxx 2 5 2 10 3 xxx 2 5 12 20 
 3xx2 4 22 3 xx 2 17 20 
 3xx2 4 22 3 x 2 17 x 20 0 
 2
 21x 2 0 x 
 21
 2
Vậy x . 
 21
c) Ta có: xyxy3n 3 n 3 n 3 n xy 6 n 6 n 
 x6n yxxy 3 n 3 n 3 n 3 n y 6 n x 6 n y 6 n 
 xy6n 6 n xy 6 n 6 n xx 6 n 6 n 0 
2x6n 0 x 6 n 0 x 0 
Vậy x 0 . 
d) Ta có: 2 x2n 2 xyy n n 2 n yxy n 4 n n y 2 n 
 2x2n 4 xy n n 2 y 2 n 4 yxy n n 2 n y 2 n 
 2xyy2n 2 n 2 n 2 x 2 n 0 x 0 
Vậy x 0 Vậy biểu thức C 50 không phụ thuộc vào x. 
bDx) 62 48 xx 5 40 6 xxx 2 9 2 3 36 x 27 
 D 13 
Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 
Bài 4. Tìm x, biết : 
axx)5 3 7 5 xx 1 2 25 
bx)3 7 x 5 x 1 3 x 2 13 
Hướng dẫn 
ax)52 35 xx 15 105 5 x 2 10 xx 2 25 
 41x 107 25 
 41x 82 
x 2 
bx)32 15 xx 21 105 3 xx 2 3 2 13 
 5x 103 13 
 5x 90 
x 18 
Bài 5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 
aA) 4 5 xx 3 2 3 2 xx 2 tại x 2 
 1 1
bB) 5 xx 4 y 4 yy 5 x tại x ; y 
 5 2
Hướng dẫn 
a) Ta có : 
Ax 12 8 15 xxx2 10 3 6 2 xx 2 4 
 17x2 29 x 14 
Với x 2 , thay vào biểu thức ta có : 
A 17 22 29 2 14 
 68 58 14 
 140 
b) Ta có : 
B 5 xx 4 y 4 yy 5 x 
 5x2 20 xy 4 y 2 20 xy 
 5x2 4 y 2 
 1 1
Thay x ; y vào biểu thức ta có ; 
 5 2 A 2 n n2 3 n 1 n n 2 12 8 chia hết cho 5 
Hướng dẫn 
Biến đổi đa thức, ta có : 
A 2 n n2 3 n 1 n . n 2 12 8 
 2n2 n 3 6 n 3 n 2 n 2 n 3 12 n 8 
 2
 5n 5 n 10 5 
Bài 9. Đặt 2x abc . Chứng minh rằng: 
 x a x b x b x c x c x a ab bc ca x2 
Hướng dẫn 
Xét vế trái: 
 xaxb xbxc xcxa 
 x2 ax bx ab x 2 bx cx bc x 2 ax cx ca 
 ab bc ca3 x2 2 x a b c 
 ab bc ca3 x2 2 x .2 x 
 ab bc ca x2 
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh. 
Bài 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca abc và a b c 1 
Chứng minh rằng : a 1 b 1 c 1 0 
Hướng dẫn 
Ta có a 1 b 1 c 1 a 1 bc b c 1 
 abc ab ac a bc b c 1 
 abc ab bc ca a b c 1 
 abc ab bc ca a b c 1 
 abc abc 1 1 0 C 4–6– x x2 23 x x 5–4 x 3 x 2 x –1 
D xy z yz yz x zx zy x . 
Dạng 5: Bài toán nâng cao 
Bài 11: Chứng minh đẳng thức 
 2
a) xyz x2 y 2 z 2 2 xy   2 yz 2 zx 
 2
b) xyz x2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 zx 
 3 22 3 4 4
c) x–– y x x y xy y x y 
 4 3 2 2 3 4 5 5
d) xyx –– xyxy xy y x y 
 2 2
Bài 12: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A (2 n ). n 3 n 1 n n 12 8 chia 
hết cho 5 
b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca abc và a b c 1. Chứng minh rằng: 
(a 1).( b 1).( c 1) 0 . A a a 5 a 2 a 2 a 3 a 4 24 
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức 
a) A 5x 72 x 3 7x 2 x 4 3x2 27x 13 
 2
tại x 2 ta có A 3.2 27.2 13 53 
b) B x 92x 3 2x 7x 5 19x 43
 1 167
tại x ta có B 19. 43 
 2 22
c) C 5x 43 x 2 2x 3 x 2 17x2 29x 14
 2
tại x 2 ta có C 17. 2 29. 2 14 140 
Bài 8 
 6x2 3x 10x 5 12x2 8x 3x 2
 18x2 12x 7(*)
x 2 x 2 
Thay x 2 vào biểu thức (*) ta có:  18.22 12. 2 7 89 ; 41 
Vậy GT của biểu thức A tại x 2 là 89 hoặc 41 
Bài 9: a) Với x 2020 nên ta thay 2021 x 1vào biểu thức, ta có: 
A x6 x 1 x5 x 1 x4 x 1 x3 x 1 x2 x 1 x x 1 1 
b) Tượng tự ta cũng tính được B 1 
Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến: 
A  3x 52 x 11 2x 3 3x 7 72 
B x 52 x 3–2 x x –3 x 7 15 
C 4 x–6– x2 2 3x x 5x – 4 3x2 x – 1 24 
D x y z yz y z x zx z y x 0 
Bài 11: Hs biến đổi VT=VP 
Bài 12: Biến đổi: A 5n2 5n 10 5 (t/c chia hết của một tổng) 
b) (a 1)(bc b c 1) abc ab ac a bc b c 1
 abc ab bc ca a b c 1 abc ( ab bc ca) ( a b c) 1 
 abc abc 1 1 0 .