Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Vận dụng, vận dụng cao) - Toán 12

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) 
 Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi St( ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 1
 y = , y = 0 , x = 0 , x= t ( t 0) . Tìm limSt( ) . 
 ( xx++12)( )2 t→+ 
 1 1 1 1
 A. −−ln 2 . B. ln 2 − . C. − ln 2 . D. ln 2 + . 
 2 2 2 2
 Hướng dẫn giải 
 Chọn B. 
 Cách 1: 
 1 a bx+ c
 *Tìm abc,, sao cho =+ 
 ( xx++12)( )2 xx++1 ( 2)2
 2
 1 =a( x + 2) +( bx + c)( x + 1) 1 =ax22 + 4 ax + 4 a + bx + bx + cx + c 
 a+ b =01 a =
 1 =(a + b) x2 +( 4 a + b + c) x + 4 a + c 4a + b + c = 0 b = − 1 . 
 4a+ c = 1 c = − 3
 1
 *Vì trên 0;t, y = 0 nên ta có: 
 ( xx++12)( )2
 tt 1 1x + 3 
 Diện tích hình phẳng: S( t) = dd x = − x 
 22 x +1 
 00 (x+1)( x + 2) ( x + 2) 
 t
 t 1 1 1 x + 1 1
 = − −2 dx = ln + 
 x+1 x + 2 x + 2 x + 2
 0 ( ) ( x + 2) 0
 t +1 1 1
 =ln + + ln 2 − . 
 tt++2 2 2
 tt++11 1
 *Vì lim = 1 lim ln = 0 và lim= 0 
 tt→+ tt++22 →+ t→+ t + 2
 t +1 1 1 1
 Nên limSt( ) = lim ln + + ln 2 − = ln 2 − . 
 tt→+ →+ tt++2 2 2 2
 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay. 
 Đáp án: C. 
 ab
 2017 (11−−xx) ( )
Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử x(1d− x) x = − + C với ab, là 
 ab
 các số nguyên dương. Tính 2ab− bằng: 
 A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có: 
 2018 2019
 2017 2017 2017 2018 (11−−xx) ( )
 x(1− x) d x =−+−( x 1 1)( 1 x) d x =−−−( 1 x) ( 1 x) d x =− + + C
 ( ) 2018 2019
 Vậy a=2019, b = 2018 2 a − b = 2020 . 
 Chọn D. 
 1
Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho Fx( ) là nguyên hàm của hàm số fx( ) = và 
 ex + 3
 1
 F (0) =− ln 4 . Tập nghiệm S của phương trình 3F( x) + ln( x3 + 3) = 2 là: 
 3
 A. S = 2 . B. S =− 2;2. C. S = 1;2 . D. S =− 2;1. 
 Hướng dẫn giải 
 dxe 1 x 1
 Ta có: F x= =1 − d x = x − ln ex + 3 + C . 
 ( ) xx ( ( ))
 ee++3 3 3 3
 1 1
 Do F (0) =− ln 4 nênC = 0. Vậy F( x) = x −ln( ex + 3) . 
 3 3 ( )
 Do đó: 3F( x) + ln( ex + 3) = 2 x = 2
 Chọn A.
Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f( x ), g ( x ) là các hàm số liên tục trên đoạn 2;6 và 
 3 6 6
 thỏa mãn fxdx()= 3; fxdx () = 7; gxdx () = 5 . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng. 
 2 3 3
 6 3
 A. [3g ( x )−= f ( x )] dx 8 B. [3f ( x )−= 4] dx 5 
 3 2
 ln e6 ln e6
 C. [2f ( x )−= 1] dx 16 D. [4f ( x )−= 2 g ( x )] dx 16 
 2 3
 Hướng dẫn giải 
 dt
 t=53 − x dx = −
 3
 Để tỉnh P ta đặt xt=05 = nên 
 xt=21 = −
 −1dt 11 5 5 5
 Pft=[()7]( + − ) = [()7]dt ft + = ftdtdt () + 7
 3 3 3 
 5− 1 − 1 − 1 
 11
 =.15 + .7.(6) = 19
 33
 chọn đáp án D 
Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f( x) =− asin 2 x b cos2 x thỏa mãn 
 b
 f '2 =− và adx = 3 . Tính tổng ab+ bằng: 
 2 a
 A.3. B. 4. C.5. D.8. 
 Hướng dẫn giải 
 Chọn C. 
 f'( x) =+ 2 a cos2 x 2 b sin 2 x 
 f' = − 2 − 2 a = − 2 a = 1 
 2
 bb
 adx= dx =3 b − 1 = 3 b = 4 
 a 1
 Vậy ab+ =1 + 4 = 5. 
 ln 2
 1 1a 5
 x+d x = ln 2 + b ln 2 + c ln .
Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: x Trong đó 
 0 2e + 1 2 3
 abc,, là những số nguyên. Khi đó S= a + b − c bằng: 
 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 . 
 Hướng dẫn giải 
 Chọn C. 
 ln 2 11 ln 2 ln 2
 x+d x = x d x + d x
 xx . 
 0 2ee++ 1 0 0 2 1
 ln 2
 ln 2 x22ln 2
 Tính xxd == 
 0 220
 ln 2 1
 dx
 Tính x 
 0 21e +
 dt
 Đặt t=2 exx + 1 d t = 2 e d x d x = . Đổi cận : x=ln 2 t = 5, x = 0 t = 3. 
 t −1
 ux= ddux=
 Đặt dx 1 . Ta có 
 dv = vx= tan
 1+ cos 2x 2
 1 1 1 1 1 1 1 1
 I= xtan x44 −4 tan x d x =+ ln cos x =+ ln =− ==− ln 2 a , b 
 2 2 0 8 2 8 2 8 4 8 4
 002
 Do đó, 16ab−= 8 4 . 
 1 5 35
Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử f( x)d3 x = và f( z)d9 z = . Tổng f( t)dd t+ f( t) t 
 0 0 13
 bằng 
 A. 12. B. 5. C. 6. D. 3. 
 Hướng dẫn giải 
 Chọn C. 
 1155
 Ta có f( x)d x= 3 f( t) d t = 3 ; f( z)d z= 9 f( t) d t = 9 
 0000
 5 1 3 5 3 5
 9= ftt( ) d = ftt( ) d + ftt( ) d + ftt( ) d = 3 + ftt( ) d + ftt( ) d
 0 0 1 3 1 3
 35 
 f( t)d t + f( t) d t = 6.
 13
 ln 2 ea21x+ +1
 dxe=+ ab.
Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân x . Tính tích . 
 0 eb
 A. 1. B. 2. C. 6. D. 12. 
 Hướng dẫn giải 
 Chọn B. 
 ln 2e21x+ +1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
 dx= ex+11 d x + e − x d x = e x + d x + 1 − e − x d − x
 x ( ) ( ) 
 0e 0 0 0 0
 ln 2
 (x+1) −x ln 2 11
 =e − e =(21 e − e) − − = e + a =1, b = 2 ab = 2 . 
 0 0 22
 3 sinx 32 3
Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết d3x= + + c + d với a,,, b c d 
 63
 ab
 − 1++xx
 3
 là các số nguyên. Tính a+ b + c + d . 
 A. a+ b + c + d = 28 . B. a+ b + c + d =16. C. a+ b + c + d =14. D. a+ b + c + d = 22 .