Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân môn Toán Lớp 12

 CHỦ ĐỀ: NGUYấN HÀM 
A. TểM TẮT Lí THUYẾT 
I. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM: 
1. Qui tắc tớnh đạo hàm: 
 1. u v w ' u'' v w'
 2. uv .' u'v v'u ()'ku ku.' k 
 ''
 u u'v v'u k k.' v
 3. 2 2 (k 0)
 v v v v
2. Bảng đạo hàm: 
 1 (C )' 0,x ' 1 ()'kx k 
 2 ()'x .x 1 ()'u .u 1.'u
 ' '
 1 1 1 v '
 3 2 2
 x x v v 
 ' 1 ' u '
 4 x u 
 2 x 2 u 
 5 (sinx )' cos x (sinu )' u '.cosu 
 6 (cosx )' sin x (cosu )' u '.sin u 
 1 u '
 7 (tanx )' 1 tan2 x (tanu )' u '(1 tan2 u )
 cos2 x cos2 u 
 1 u '
 8 (cotx )' (1 cot2 x ) (co tu )' u '(1 cot2 u )
 sin2 x sin2 u 
 9 (ex )' ex (eu )' eu .u '
 xx uu
 10 ()'a a.ln a ()'a a.lna . u ' 
 1 u '
 11 (lnx )' (lnu )' 
 x u 
 1 u '
 12 (logx )' (logu )' 
 a xln a a uln a 
II. NGUYấN HÀM 
1.Định nghĩa: 
Cho hàm số f()x xỏc định trờn K ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng) 
Hàm số F()x được gọi là nguyờn hàm của hàm số f()x trờn K nếu F'(x ) f (x ),x K. 
Nếu F()x là một nguyờn hàm của hàm số f()x thỡ họ tất cả cỏc nguyờn hàm của hàm số 
 f()x được kớ hiệu là: f()xdx F()x C,C . 
2. Cỏc tớnh chất của nguyờn hàm: 
 1 
 1 Luỹ thừa bậc lẻ đối với sinx t=cos x dt=- sin xdx 
 2 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx t=sinx dt = c osxdx 
 3 Luỹ thừa bậc lẻ cả hai đối với sinx và cosx. t=sin x hoặct=cos x 
 Luỹ thừa bậc chẵn cả hai đối với sinx và 1
 4 t tan x dt dx
 cosx. cos2 x 
 fx 2
 5 Chứa căn bậc hai t= f(x) t=f(x) 
 1 1
 7 Chứa vàln x t=ln x dt = dx 
 x x
 P(x)
 8 dxcú Q'x ()=k.P( x)(cú mẫu) t=Q(x)(t = mẫu) 
 Q(x) 
3. Phương phỏp nguyờn hàm từng phần: udv = uv - vdu 
Thường được ỏp dụng cho cỏc dạng sau: 
 STT Dạng Cỏch đặt 
 P(x).sin(ax+ b) dx
 u=P(x)
 1 P(x).cos(ax+ b)dx 
 dv = phaàn coứn laùi 
 P(x).eax+ b dx
 u=ln( ax+ b)
 2 P(x).ln(ax+ b)dx 
 dv=P(x)dx
 x+
 e.sin(ax+ b)dx u=e x+
 3 (tửứng phaàn 2 laàn) 
 e x+ .cos(ax+ b)dx dv phaàn coứn laùi
 2
 2 u= x±a
 4 x±a dx 
 dv=dx
IV. MỘT SỐ KĨ THUẬT TRONG VIỆC TÍNH NGUYấN HÀM 
 P()x
 Nguyờn hàm hàm số hữu tỉ: dx
 Q()x 
 a) Nếu bậc của tử thức P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức Q(x) thỡ ta thực hiện 
 phộp chia đa thức P(x) cho Q(x). 
 b) Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thỡ ta xột cỏc trường hợp sau: 
  Nếu Q’(x) = k.P(x) thỡ sử dụng pp đổi biến số đặt t = Q(x) 
  Nếu Q(x) cú nghiệm thỡ ta sử dụng PP hệ số bất định. 
 3 
  Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx thỡ đặt t = sinx. 
 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cả sinx và cosx thỡ đặt t = sinx hoặc t = cosx. 
 Luỹ thừa bậc chẵn đối với sinx hoặc cosx hoặc cả hai thỡ: 
 1 cos 2x 1 cos 2x
 sin2x ;cos2 x 
  Sử dụng cụng thức hạ bậc: 22 
  Sử dụng CT sin2x + cos2x = 1 đưa về hàm bậc chẵn theo một hàm sinx hoặc cosx. 
  Đặt t = tanx 
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (50 cõu) 
 2
Cõu 1: Tỡm họ nguyờn hàm F()x của hàm số F(x ) 3sin x , ta được kết quả là 
 x
A. F(x ) 3cosx 2lnx C . B. F()x 3cosx 2lnx C . 
C. F(x ) 3cosx 2lnx C . D. F()x 3cosx 2lnx C . 
 1
Cõu 2: Một nguyờn hàm F()x của hàm số f()x là 
 2x 5
 1 2
A. F()x ln 2x 5 2017. B. F()x ln2x 5 . C. F()x .
 2 2x 5 2
 1
 D. F()x . 
 2x 5 2
 x
Cõu 3: Nguyờn hàm F()x của hàm số f()x là 
 x 1
A. F()lnx x 1 C. B. F()x x lnx 1 C. 
C. F()x x lnx 1 C. D. F()x 2lnx 1 C. 
Cõu 4: Một nguyờn hàm của hàm số f x sin 2x 3x2 là 
 1
A. F x cos 2x 6x . B. F x cos 2x 6x . 
 2
 1 1
C. F x cos 2x x3 . D. F x cos 2x x3 . 
 2 2
 3
Cõu 5: Một nguyờn hàm F()x của hàm số f()x x2 2 x là 
 x
 x3 4 x3 2
A. F()x 3lnx x3 . B. F()x 3lnx x3 . 
 33 33
 x3 34 x3 4
C. F()x x3 . D. F()x 3lnx x3 . 
 3x2 3 33
Cõu 6: Kết quả của tan 2 xdx là 
 2
A. tanx x C . B. tanx 1 C. C. cot2 x C . D. 1 tan2 x C. 
Cõu 7: Một nguyờn hàm F()x của hàm số f()x e2x là. 
 e2x 1 1
A. F()x e2x B. f(x ) 2e2x C. F()x D. F()x e2x 
 2x 1 2
 3x
Cõu 8:Tớnh F()x sin dx là 
 2
 5 
 x2 2x 1 1
Cõu 17: Tỡm một nguyờn hàm F()x của hàm số f()x biết F 1 . 
 x 2
 x2 x2
A. F()x 2x lnx 2 B. F()x 2x lnx 2 
 2 2
 x2 1 x2 1
C. F()x 2x ln x D. F()x 2x ln x 
 22 22
 x2 2x 1
Cõu 18: Cho hàm số f()x . Một nguyờn hàm F()x của f()x thỏa F(1) 0 là: 
 x2 2x 1
 2 2
A. F()x x 2 B. F()x x 2 
 x 1 x 1
 2 2
C. F()x x 2 D. F()x x 2ln 1 x 
 x 1
Cõu 19: Tỡm một nguyờn hàm F()x của hàm số f()x 3x 4 biết F 0 2 . 
 23 2 23 2
A. F()x 3x 4 B. F(x) 3x 4 
 99 99
 23 10 23 10
C. F()x 3x 4 D. F()x 3x 4 
 33 33
Cõu 20: Cho hàm số f()2x x sinx 2cos x . Một nguyờn hàm F()x của f()x thỏa 
F(0) 1 là 
A. F()x x2 cosx 2sin x B. F()x x2 cosx 2sinx 2 
C. F(x ) 2 cosx 2sin x D. F()x x2 cosx 2sinx 2 
 2 1 
Cõu 21: Tỡm F()x 3x 2 dx 
 x 
 x3 1
A. F()x lnx 2x C B. F()x x3 2x C
 3 x2 
C. F()x x3 ln x C D. F()x x3 lnx 2x C 
Cõu 22: Một nguyờn hàm F()x của hàm số f()x x 3 4 là 
 4 5 3
 x 3 3 x 3 x 3 
A. F()x B. F()4x x 3 C. F()x D. F()x 
 4 5 3
 3x 1 1 
Cõu 23: Tỡm F()x e 2 dx ? 
 x 
 11 1
A. F()x e3x 1 C B. F(x ) 3e3x 1 C
 3 x x 
 1 11
C. F(x ) 3e3x 1 C D. F()x e3x 1 C 
 x 3 x
 3x 5
Cõu 24: Nguyờn hàm F()x của hàm số y là 
 x 2
A. F()3x x 4lnx 2 C B. F()x 3x lnx 2 C 
C. F()3x x lnx 2 C D. F()3x x lnx 2 C 
Cõu 25: Họ nguyờn hàm F()x của hàm số f(x ) sin2 x là 
 7