Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân Đại số Lớp 12

 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
 BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số fx xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của
 ). Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu Fʹ xfx với mọi xK. 
Định lý 1: Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
Gx Fx C cũng là một nguyên hàm của fx trên K.
Định lý 2: Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx 
đều có dạng Fx C,với C là một hằng số.
Hai định lý trên cho thấy:
Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì Fx C,C là họ tất cả các nguyên
hàm của fx trên K. Kí hiệu
 fxdxFx C.
Chú ý: Biểu thức fxdx chính là vi phân của nguyên hàm Fx của fx, vì
dFx Fʹ xdxfxdx. 
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
 fʹ xdxfx C
Tính chất 2 
 kf x dx k f x dx , k là hằng số khác 0. 
Tính chất 3 
 fx gx dx fxdx gxdx. 
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm
 Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp 
 sơ cấp hợp u=u x u=ax+b;a 0 
 dx x C du u C daxb axb C
 ax b 1
 x 1 u 1 1 
 xdx C 1 uC 1 ax b dx C 
 1 1 a 1 fu(x).u ʹ(x)dx F u(x) C
Hệ quả: Với uaxba0 ta có 
 1
 faxbdxFaxbC. 
 a
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Định lý 2: Nếu hai hàm số uux và vvx có đạo hàm liên tục trên K thì:
 uxv ʹ xdxuxvx uʹ xv x dx.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
 Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng các phép biến đổi sơ cấp 
1. Phương pháp giải
 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x,
 trong đó mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.
 Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm.
2. Bài tập
 21x 
Bài tập 1. Nguyên hàm của hàm số fx là 
 ex
 2x 2x
 A. eC x B. eC x 
 ex ln 2 ex ln 2 1
 2x 2x
 C. eC x D. eCx 
 ex ln 2 1 ex ln 2 1
 Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
 xxx
 21 2 xx2
Ta có: xxdx dx e dx e C . 
 ee e ln 2 1
 2019
Bài tập 2. Nguyên hàm của hàm số fx xx 2 là 
 2021 2020 2020 2018
 xx 22 xx 22 
 A. C B. C 
 2021 1010 2021 1009
 2021 2020 2021 2020
 xx 22 xx 22 
 C. C D. C
 2021 1010 2021 1010
 Hướng dẫn giải 
Chọn D. Chọn D. 
 513xx 513
Ta có: 
 xx2 56 x 2 x 3
Ta sẽ phân tích: 513xAxBx 2 31 
Thế x 2 và x 3 lần lượt vào (1) ta có B 3 và A 2 . 
 513x 2233 xx 2 3
Khi đó dx dx dx dx
 xx2 56 x 2 x 3 x 3 x 2
 2lnxxC 3 3ln 2
 1 x 4
Bài tập 6. Nguyên hàm của hàm số fx là: 
 xx5 
 1
 A. lnxxC ln 4 1 B. lnxx ln 4 1 C
 2
 1 1
 C. lnxxC ln 4 1 D. lnxxC ln 4 1 
 2 2
 Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
 44
 1121 xx43 12 xx 
Ta có: dx dx dx dxln x ln x4 1 C 
 544 
 xx xx 1 x x12
 333xx2 
Bài tập 7. Nguyên hàm của hàm số fx là: 
 xx3 32 
 3 3
 A. lnxx 2 2 ln 1 C B. lnxx 2 2 ln 1 C
 x 1 x 1
 3 3
 C. 2lnxx 2 ln 1 C D. 2lnxx 2 ln 1 C 
 x 1 x 1
 Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
 333xx22 333 xx 
Ta có: dx dx . 
 3 2
 xx 32 xx 12
 2
Ta phân tích 333xx2 AxBxx 1 1 2 Cx 2 . 
Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay AC 1, 3 và B 2 . 
(thay xAxC 21;13 và xB 02 ). 
 333xx2 1 1 1 3
Khi đó dx dx2 dx 3 dx ln x 2 2 ln x 1 C . 
 22
 xx 12 xx 21 x 1 x 1 1  2
Bài tập 8. Cho hàm số fx xác định trên \  thỏa mãn fx';01 f và 
 2 21x 
f 12 . Giá trị của biểu thức P ff 13 là:
 A. 3ln5 ln2 B. 3ln2 ln5 C. 32ln5 D. 3ln15 
 Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
 1
 ln 2xCkhix 1 
 2 1 2
f x f'ln21 x dx dx x C 
 21x 1
 ln 1 2xCkhix 
 2 2
 f 01 C2 1
Vì . 
 C 2
 f 12 1
 1
 ln 2xkhix 1 2 
 2
Suy ra fx . 
 1
 ln 1 2xkhix 1 
 2
Do đó Pf 1 f 3 3 ln3 ln 5 3 ln15
Bài tập 9. Cho hàm số fx xác định trên \1;1  , thỏa mãn
 2 11
fx';332ln2 2 f f và ff 0 . Giá trị của biểu thức 
 x 1 22
Pf 204 f f là: 
 A. 2ln2 ln5 B. 6ln2 2ln3 ln5 C. 2ln2 2ln3 ln5 D. 6ln2 2ln5
 Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
 2111 x 
f x f'ln x dx2 dx dx C
 xxxx 1111 
 x 1
 ln Ckhix1 1
 x 1
 xx 11 
Hay fx ln C ln Ckhi2 1 x 1 
 xx 11 
 x 1
 ln Ckhix3 1
 x 1
 ff 332ln2 
 CC13 2ln2
Theo bài ra, ta có: 11 
 ff 0 C2 0
 22 Bài tập 14. Nguyên hàm của hàm số tan3 xdx là:
 tan2 x tan2 x
 A. ln cos xC B. ln sin xC 
 2 2
 tan2 x tan4 x
 C. ln cos xC D. C 
 2 4cos2 x
 Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Từ tan32xx tan 1 tan x tan x
 dx cos tan2 x
Suy ra tan3 xdx tan xd tan x ln cos x C . 
 cosx 2
 3
Bài tập 15. Gọi Fx là nguyên hàm của hàm số fx sin 2 x tan x thỏa mãn F . Giá 
 34
trị của F là: 
 4
 31 31 31 31 
 A. B. C. D. 
 212 212 212 212
 Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
 sin x
Ta có: F x sin 2 x .tan xdx 2sin x .cos x . dx 2 sin2 xdx . 
 cos x 
 sin 2x
Suy ra F xx 1cos2 dxxC . 
 2
 3123 3 
Theo giả thiết, ta có: FC sin C. 
 34323 4 23
 sin 2x 3 
Vậy Fx x . 
 223
 1331 
Do đó F sin 2 . 
 442 4 23212
Bài tập 16. Gọi Fx là nguyên hàm của hàm số fx cos4 2 x thỏa mãn F 0 2019 . Giá trị
của F là: 
 8
 3 16153 3 129224 3 129224 3 129224
 A. B. C. D. 
 64 8 64 32
 Hướng dẫn giải 
Chọn C.