Chuyên đề Nghiệm của đa thức một biến Toán Lớp 7

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm vững định nghĩa nghiệm của đa thức một biến. 
 + Nhận biết được số nghiệm của đa thức một biến không vượt quá số bậc của đa thức. 
  Kĩ năng 
 + Kiểm tra được một số có là nghiệm của đa thức một biến hay không. 
 + Tìm được nghiệm của một số đa thức một biến dạng đơn giản. 
 + Biết cách chứng minh đa thức vô nghiệm. 
 Trang 1 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Kiểm tra xem: 
 1
a) x có phải là nghiệm của đa thức Px 4 x 2 hay không? 
 2
b) Mỗi số x 1; x 2 có phải là một nghiệm của đa thức Qx x2 3 x 2 không? 
Câu 2: Trong tập hợp số 1; 1;5; 5 , số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của đa thức: 
 Fxx 42 x 3 2 x 2 6 x 5? 
Dạng 2:Tìm nghiệm của đa thức 
Bài toán 1. Tìm nghiệm của đa thức 
 Phương pháp giải 
Tìm nghiệm của đa thức F x : Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức: Fx 3 x 9 
Bước 1. Cho đa thức F x 0. F x 0 
 3x 9 0 
Bước 2. Tìm nghiệm x và kết luận. 3x 9 
 x 3 
 Vậy x 3 là nghiệm của đa thức. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm nghiệm của các đa thức: 
a) fx 3 x 8. 
b) fx x3 2 x 5 . 
c) fx x2 2 x . 
Hướng dẫn giải 
 8
a) f x 0 hay 3x 8 0 3 x 8 x . 
 3
 8
Vậy nghiệm của đa thức là x . 
 3
b) f x 0 hay x 3 2 x 5 0 
 x 3 0 hoặc 2x 5 0 
 x 3 hoặc 2x 5 Chú ý: Với đa thức 
 Trang 3 
 f x 0 với mọi x . 
Vậy đa thức f x không có nghiệm. 
c) Ta có 2x 1 0 với mọi x . 
 2x 1 0 
 2x 1 3 3 0 
 f x 0 với mọi x . 
Vậy đa thức f x không có nghiệm. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức. 
a) Px 15 x 5. b) Px 23 x . 
Câu 2: Tìm nghiệm của các đa thức: 
a) x 52 x 6; b) 2x x 2; c) x2 5 x 4. 
Câu 3: Chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm. 
a) Fx x2 1. b) Fx x4 x 2 6. 
Câu 4: Chứng minh rằng đa thức sau luôn không có nghiệm. 
a) x2 5. b) x4 x 2 1. 
 Câu 5: Tìm nghiệm của đa thức sau: Rx x2 3 x 5. 
Dạng 3. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Biết Fx axbF, 0 0, F 1 2. 
 Tìm F x 
 Hướng dẫn giải 
Để tìm đa thức F x , ta căn cứ vào giả thiết: 
 Thay x 0 vào F x , ta có: F 0 a .0 b b . 
Nếu Fx 0 k ( k là số bất kỳ) thì Fx k tại 
 Do F 0 0 nên b 0 1 
 x x0 
 Thay x 1 vào F x ta có: 
 F 1 a . 1 b a b . 
 Do F 1 2 nên a b 2 2 
 Thay 1 vào 2 ta có: a0 2 a 2 
 Trang 5 
ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Kiểm tra nghiệm của đa thức 
Câu 1. 
 1 1 1 
a) Thay x vào Px 4 x 2, ta có P 4. 2 2 2 0. 
 2 2 2 
 1
Vậy x là nghiệm của đa thức P x . 
 2
b) – Thay x 1vào Qx x2 3 x 2 ta có Q 1 12 3.1 2 1 3 2 0. 
Vậy x 1 là nghiệm của đa thức Q x . 
- Thay x 2 vào Q x , ta có Q 2 22 3.2 2 4 6 2 0. 
Vậy x 2 là nghiệm của đa thức Q x . 
Câu 2. 
1. Thay x 1 vào F x , ta có F 1 14 2.1 3 2.1 2 6.1 5 0. 
Vậy x 1 là nghiệm của đa thức. 
2. Thay x 1 vào F x , ta có 
 F 1 14 2. 1 3 2. 1 2 6. 1 5 1 2 2 6 5 8 F 1 0. 
Vậy x 1 không là nghiệm của đa thức. 
3. Thay x 5 vào F x , ta có F 5 54 2.5 3 2.5 2 6.5 5 625 2.125 2.25 30 5 800 0. 
Vậy x 5 không là nghiệm của đa thức. 
4. Thay x 5 vào F x , ta có 
 F 5 54 2. 5 3 2. 5 2 6. 5 5 625 2. 125 2.25 30 5 360 0. 
Vậy x 5 không là nghiệm của đa thức. 
Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức 
Câu 1. 
 5 1
a) Ta có Px 0 15 x 5 0 15 xx 5 . 
 15 3
 1
Vậy x là nghiệm của đa thức P x 
 3
b) Ta có Px 0 23 x 0 x 23. 
Vậy x 23 là nghiệm của đa thức P x 
Câu 2. 
 Trang 7 
Ta có x4 0 và x2 0 với mọi x 
 xx4 2 0 xx 4 2 0 
 x4 x 2 1 1 0 với mọi x 
Vậy F x không có nghiệm 
Câu 5. 
 Rx x2 3 x 5 
 3 3 9 11
 x2 x x 
 2 2 4 4
 3 3 3 11
 xx x 
 2 2 2 4
 3 3 11
 x x 
 2 2 4
 2
 3 11
 x 0 
 2 4
Suy ra R x 0 với mọi x. 
Vậy đa thức R x không có nghiệm. 
Dạng 3. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước 
Câu 1. Ta có 
 P 0 5 a .0 b 5 b 5 1 
 P 2 0 a .2 b 0 2 a b 0 2 
 5
Thay 1 vào 2 ta có: 2a 5 0 a . 
 2
 5
Vậy Px x 5. 
 2
Câu 2. 
a) Để F x nhận 2 làm nghiệm thì F 2 0 
 22 m .2 2 0 
 6 2m 0 
 m 3. 
Vậy với m 3 thì F x nhận 2 làm một nghiệm 
b) Với m 3 ta có Fx x2 3 x 2. 
 F x 0 
 Trang 9