Chuyên đề Mũ và lôgarit (Vận dụng) - Toán 12

 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN
 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
 I. LÝ THUYẾT
 Cơ sở lý thuyết. 
 Cho hàm số f (x) liên tục trên (a;b). Nếu f (x) đơn điệu trên (a;b) và u,v Î (a;b)thì 
phương trình f (u)= f (v)Û u = v .
 Nhận dạng:
 Phương trình, bất phương trình chưa hai thành phần hàm số là Hàm số đại số (đa thức, phân thức, 
căm thức) và hàm số siêu việt (mũ, lôgarit)
 Phương pháp
 + Biến đổi phương trình (bất phương trình về dạng f (u)= f (v)
 + Nếu f (x) đơn điệu trên (a;b) và u,v Î (a;b)thì f (u)= f (v)Û u = v . 
 + Nếu f (x) đồng biến trên (a;b) và u,v Î (a;b)thì f (u)< f (v)Û u < v . 
 + Nếu f (x) nghịch biến trên (a;b) và u,v Î (a;b)thì f (u) v .
 II. VÍ DỤ MINH HỌA
 3x2 3x m 1
Ví dụ 1. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log x2 5x 2 m có hai nghiệm 
 2 2x2 x 1
phân biệt lớn hơn 1 .
 A. 2 . B. .3 C. Vô số. D. . 4
 Lời giải
 Chọn A
 Điều kiện: 3x2 3x m 1 0 .
 - Ta có:
 2 2
 3x 3x m 1 2 3x 3x m 1 2
 log2 x 5x 2 m log2 2 1 x 5x 1 m
 2x2 x 1 2x x 1 
 3x2 3x m 1
 log x2 5x 1 m
 2 4x2 2x 2
 2 2 2 2
 log2 3x 3x m 1 log2 4x 2x 2 4x 2x 2 3x 3x m 1 
 2 2 2 2
 log2 3x 3x m 1 3x 3x m 1 log2 4x 2x 2 4x 2x 2 1 
 1
 Xét hàm số: f t t log2 t trên D 0; , có f t 1 0 , t D ,
 t.ln 2
 Do đó hàm số f t đồng biến trên D
 1 f 4x2 2x 2 f 3x2 3x m 1 
 4x2 2x 2 3x2 3x m 1 x2 5x m 1 2 .
 5
 - Xét hàm số: g x x2 5x trên ¡ , có g x 2x 5 g x 0 x .
 2
 - Bảng biến thiên: 2 3 2
 2 4x 4x 2 2x 2x 2m 2 3 2
 4x 4x 2 2 2x 2x 2m 2
 4x2 4x 2 
 2
 4x2 4x 2  2x3 2x2 2m 2
 2x3 2x2 2m 2 
 2
 2 3 2
 2 4x 4x 2 3 2 2x 2x 2m 2 
 4x 4x 2 2 2x 2x 2m 2 2
 Xét hàm số f t t.2t .Tacó: f t 2t t.2t.ln 2 2t 1 t.ln 2 0, t 0 .
 f t đồng biến trên 0; 
 1 f 4x2 4x 2 f 2x3 2x2 2m 2 
 4x2 4x 2 2x3 2x2 2m 2 x3 x2 2x 2 m
 Xét hàm số g x x3 x2 2x 2 trên [1;2]
 g x 3x2 2x 2 0, x 1;2 g 1 m g 2 2 m 10
 Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m .
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 
 2x2 mx 1 
log 2 x 2x2 mx 1 nghiệm đúng với x (0;1) ?
 2 
 x 2 
 A. 10. B. 5. C. 1. D. 6.
 Lời giải
 Chọn D
 2x2 mx 1 0
 Do x (0;1) và m 0 Đ nên . 
 x 2 0
 2x2 mx 1 
 Ta có: log 2 x 2x2 mx 1
 2 
 x 2 
 2x2 mx 1 2x2 mx 1 
 log 2x2 mx 1 log x 2
 2 2 
 x 2 x 2 
 Xét hàm số f t log2 t t với t 0 : 
 1
 f t 1 0 f t đồng biến trên t 0 : .
 t ln 2
 Bất phương trình tương đương với 
 f 2x2 mx 1 f x 2 2x2 mx 1 x 2
 x2 m 4 x 3 0 nghiệm đúng x (0;1) khi tam thức vế trái có hai nghiệm 
 x1 0 1 x2 m 6
 Vậy có 6 giá trị nguyên dương.
Ví dụ 5. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
 2 2
 20232x 4x 9 2023x 5x 1 x 1 8 x 0 .
 A. 7 . B. 5. C. 6 . D. 8.
 Lời giải
 Chọn C
 2 2
 20232x 4x 9 2023x 5x 1 x 1 8 x 0
 2 2
 20232x 4x 9 2023x 5x 1 x2 9x 8 0
 2 2
 20232x 4x 9 2x2 4x 9 2023x 5x 1 x2 5x 1 III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: (Đề minh họa 2023) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
 2 2 2 2 2 2
 log3 x y x log2 x y log3 x log2 x y 24x ?
 A. 89. B. 48. C. 90. D. 49.
 x
Câu 2: Cho phương trình 5 m log5 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
 m 20;20 để phương trình đã cho có nghiệm?
 A. 20 . B. 19. C. 9. D. 21
 1 3x2 xy 9x
Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ;3 thỏa mãn 27 1 xy .27 ?
 3 
 A. 27 . B. 9 . C. 11. D. 12 .
 2
 6 6 log2 2x 2
Câu 4: Gọi S là tập hợp các số nguyên x thỏa mãn 4yx log2 yx 2log2 x 1 2 log2 x . Có 
 bao nhiêu giá trị nguyên của y để tập hợp S có nhiều nhất 32 phần tử?
 A. 16 . B. 32 . C. 19 . D. 8 .
Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực x 1;6 thỏa mãn 
 4 x 1 ex y ex xy 2x2 3 ?
 A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 .
Câu 6: Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương a,a 2023 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:
 x ln a ex ex 1 ln xln a ?
 A. 2008 . B. 2005 . C. 2007 . D. 2006 .
Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên a 0;2023 sao cho ứng với mỗi a , tồn tại ít nhất mười số nguyên 
 2
 b 3;10 thỏa mãn 2b3a 6560 32a b ?
 A. 2021 . B. 2020 . C. 2018 . D. 2019 .
Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a , tồn tại ít nhất 7 số nguyên b 0;10 thỏa 
 2
 mãn log5 b 16 log3 b 13 a log7 a 3 5 ?
 A. 9 . B. 8 . C. 11. D. 1.
Câu 9: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của y sao cho thỏa mãn 
 bất phương trình e2 y 4x2 y y2 x ln x2 y ?
 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ửng với mỗi a tồn tại đúng 8 số thực x thỏa mãn 
 4 2
 x4 4x2 3 log a a.22x 8x 3 1 3?
 4 
 A. 1024. B. 1028. C. 1023. D. 1026.
Câu 11: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m 0;2023 để bất phương trình 
 log 60x2 120x 10m 10 3log x 1 1 có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của 
 biến x . Số phần tử của S là
 A. 3 . B. 10 . C. 9 . D. 12 . 24 
 Ta có f (8) log3 (1 8) log2 1 0
 8 
 x2 y2
 Từ đó suy ra: (1) f (t) f (8) t 8 8 (x 4)2 y2 16 .
 x
 Đếm các cặp giá trị nguyên của (x; y)
 Ta có: (x 4)2 16 0 x 8, mà x 0 nên 0 x 8 .
 Với x 1, x 7 y { 2; 1;0} nên có 10 cặp.
 Với x 2, x 6 y { 3; 2; 1;0} nên có 14 cặp.
 Với x 3, x 5 y { 3; 2; 1;0} nên có 14 cặp.
 Với x 4 y { 4; 3; 2; 1;0} nên có 9 cặp.
 Với x 8 y 0 có 1 cặp.
 Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x; y) thỏa mãn đề bài.
 .
 x
Câu 2: Cho phương trình 5 m log5 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
m 20;20 để phương trình đã cho có nghiệm?
 A. 20 . B. 19. C. 9. D. 21
 Lời giải
 Điều kiện: x m
 x m 5t
 Đặt: t log x m 5x x 5t t 1 .
 5 x 
 5 m t
 Xét hàm số f u 5u u f u 5u ln 5 1 0,u ¡ .
 Do đó: 1 x t x 5x m m x 5x .
 Xét hàm số f x x 5x , x m
 Do: 5x 0 m x , suy ra phương trình có nghiệm luôn thỏa điều kiện.
 x x 1 
 f x 1 5 ln 5 , f x 0 1 5 ln 5 0 x log5 .
 ln 5 
 Bảng biến thiên:
 x ∞ ≈ 0,295 +∞
 y' + 0
 ≈ 0,917
 y
 ∞ ∞
 Dựa vào bảng biến thiên m 0,917 m 20;20 m 19; 18;...; 1 .
 Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
 1 3x2 xy 9x
Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ;3 thỏa mãn 27 1 xy .27 ?
 3 
 A. 27 . B. 9 . C. 11. D. 12 .
 Lời giải
 Chọn C