Chuyên đề Một số phương pháp tính tích phân - Đại số 12

 TÊN CHƯƠNG: NGUYÊN 
 3 
 HÀM – TÍCH PHÂN 
 CHƯƠNG 
 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌNH TÍCH PHÂN 
DẠNG 5.1 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Định nghĩa 
 b
 = b
 f()()()() x dx F x F b F a với Fx là một nguyên hàm của fx . 
 a 
 a=
2. Tính chất 
 a I 
 f( x )d x 0 ; 
 a
 ba
 f()(); x dx f x dx 
 ab
 bb
 kf()() x dx k f x dx , k ;
 aa
 b b b
  fx()()()(); gxdx fxdx gxdx 
 a a a
 b c b
 fxdx()()() fxdx fxdx a c b . 
 a a c
3. Chú ý 
Bài toán 1: Cho hàm số fx liên tục và là hàm số lẻ trên  aa; . Ta có: 
 a
 f x d0 x . 
 a
Bài toán 2: Cho hàm số liên tục và là hàm số chẵn trên . Ta có: 
 aa
 f x d x 2 f x d x . 
 a 0
 Ví dụ 1 
 1 1 1
 x
 [Mức độ 2] Cho f x d2 x và g x d5 x . Tình f x 2 g x 3 e d x . 
 0 0 0 
 Lời giải 
Ta có: 
1 1 1
 1
 fxgxexfxxgxxe 2 3dxx d2 d3 22.531153 e e . 
 0
0 0 0
 Ví dụ 2 
 1 1 1
 2019
 [Mức độ 2] Cho f x 2 g x d x 12 và g x d5 x . Tính f x 2020 x d x . 
 0 0 0
 Lời giải 
Ta có: 
1 1 1
 fx 2 gxx d fxx d 2 gxx d . 
0 0 0
 1 1 1
 fxx d fx 2 gxx d 2 gxx d 12 2.5 22 . 
 0 0 0
 1
 1
Do đó f x 2020 x2019 d x 22 x 2020 22 1 21. 
 0
 0
 Ví dụ 3 
 2 a a
 [Mức độ 1] Tính tích phân I x2. sin 2019 x 1 d x ( với là phân số tối giản) . 
 b b 
 2 
 Lời giải 
 2 2 2
Ta có Ix 2. sin 2019 xxx 1 d 2 .sin 2019 xxxxII d 2 d . 
 12
 2 2 2
 ln 2
 1 11 1 1
 1 1 3 f ln 2 . 
 fx ffln 2 0 f ln 2 3
 0 
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
DẠNG 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm. 
 = 
 =I Câu 1 
 1 1 1 1
 [Mức độ 1] Cho f x d2 x và 2g x d x 14 . Tính f x g x 2d x5 x . 
 7
 1 1 1 
 Lời giải 
 11
Ta có: 2g x d x 14 g x d x 7 
 11
1 1 1 1 1 1
 fx gxx d fxx d gxx d 2 . 7 3. 
 1 7 1 7 1 7
 1
 1 5
Do đó : f x g x 2 x d x 3 0 3 
 1 7
 Câu 2 
 2 2 2
 [Mức độ 2] Cho f x 2 d x 2 và 2f x g x d x 6, Tính: g x d x . 
 0 0 0
 Lời giải 
 2 2 2 2
Ta có: f x 2 d x 2 f x d x 2 2d x 2 2f x g x d x 6 
 0 0 0 0
 2 2 2 2
2 fxxgxx d d6 gxx d2 fxx d62.2610 . 
 0 0 0 0
 Câu 3 
 1 xx45 sin
 [Mức độ 2] Tính Ix d 
 x2 
 1 Lời giải 
 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT,GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Đị=nh nghĩa 
 = b
 Định nghĩa: f()()()() x dx F xb F b F a ; với Fx là một nguyên hàm 
 a 
 I a
 của fx . 
2. Tính chất 
 a
 f( x ) dx 0 ; 
 a
 ba
 f( x ) dx f ( x ) dx ; 
 ab
 bb
 kf( x ) dx k f ( x ) dx , k ;
 aa 
 b b b
  f( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx ; 
 a a a
 b c b
 fxdx()()() fxdx fxdx ( a c b ). 
 a a c
 Ví dụ1 
 1 1
 [Mức độ 2] Cho biết f x dx 2 ; g x dx 3 và 
 0 0
 1 1
 a. f x b . g x dx 7 a. f x 3 b . g x dx 1 .Giá trị của T a b bằng bao 
 0 0 
 nhiêu? Lời giải 
Ta có 
 fx sin x
 1 cosx f x f x .sin x . 
 f x 1 cos x
Lấy tích phân 2 vế ta được 
22fx sin x 
 dx dx lnf x 2 ln 1 cos x 2 
 0 0
00f x 1 cos x
 1
 f . 
 22
 Ví dụ 4 
 [Mức độ 3] Cho biết f x xln x2 4 d x và f 02 khi đó giá trị của f 2 bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
 2
Ta có A xln x2 4 d x f 2 f 0 f 2 A f 0 . 
 0
Tính 
 2
A xln x2 4 d x
 0 
 2x
 2 du 
 ux ln 4 x2 4
Đặt 
 x2 4
 dv xdx v 
 2
 2
 2 2
 x 4 2
 A ln x 4 xdx 8ln 2 2 
 2 
 0 0
Vậy f 2 8ln 2 . 
 Câu 1 
 1 1
 [Mức độ 2] Cho biết f x dx 1; g x dx 2 
 0 0
 1 1
 và a. f x b . g x dx 0 2a . f x 3 b . g x dx 4 . Giá trị của T a b bẳng 
 0 0
 bao nhiêu? 
 Lời giải 
Ta có 
1 1 1
 afx. bgxdx . 0 afxdxbgxdx 0 a 2 b 0 
0 0 0
1 1 1
 2.3.afx bgxdx 42 afxdx 3 bgxdx 4264 a b
0 0 0 
Giải hệ ta được a 4,b 2 
VậyT 8 
 Câu 2 
 [Mức độ 2] Cho biết F x 21 x dx và F 1 20192 . Giá trị của F 2019 bằng bao 
 nhiêu? 
 Lời giải 
Ta có 
2019 2019
 2x 1 dx F 2019 F 1 F 2019 2 x 1 dx F 1 
 11
 2019
 F 2019 x2 x F 1 2017 
 1
 Câu 4 
 5sinxx 12cos 4 
 [Mức độ 3]Cho F x dx và F . Biết F a bln c 
 2sinxx 3cos 2 2 2
 trong đó abc,, là các số nguyên dương, c là số nguyên tố. Giá trị của biểu thức 
 T a b c bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
 2 5sinxx 12cos 4 
Ta có A dx F F F A F 
 2sinxx 3cos 2 2 2 2 2 
 2
Mà 
 22 5sinxx 12cos 4 3 2sinxx 3cos 2 
 A dx 2 dx 
 2sinx 3cos x 2 2sin x 3cos x 2
 22
 2
 2x 3ln 2sin x 3cos x 2 2 6ln 2 
 2
 a 1
 F A F 6ln 2 b 6 
 22 
 c 2
Vậy T a b c 9 
 Câu 5 
 fx 
 [Mức độ 3]Cho fx có đạo hàm liên tục trên ; và xf x . Biết f 11 . 
 x3 2 
 Giá trị của biểu thức f 2 bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
Ta có