Chuyên đề Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ 
 TỶ
1. Phương trình vô tỷ cơ bản: 
 g(x) 0
 f (x) g(x)
 2
 f (x) g (x)
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
 a) x2 2x 6 2x 1
 b) 2x 1 x 4x 9
Lời giải:
a). Phương trình tương đương với: 
x 2 2
b). Điều kiện: x 0 . Bình phương 2 vế ta được:
 x 8
3x 1 2 2x2 x 4x 9 2 2x2 x x 8
 2 2
 4(2x x) (x 8)
 x 4
 x 8
 . Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có 
 2 16
 7x 12x 64 0 x 
 7
x 4 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình: 
II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP
1. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: + Nếu h(x) 0 có nghiệm x x0 thì ta luôn phân tích được 
h(x) (x x0 )g(x)
Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung x x0 thì phương trình 
 x x0 0
ban đầu trở thành: (x x0 )A(x) 0 
 A(x) 0
Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để 
kết luận A(x) 0 vô nghiệm.
 • Nếu phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo định lý viet đảo ta có nhân 
 2
 tử chung sẽ là: x (x1 x2 )x x1.x2
Ta thường làm như sau:
+ Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong n f (x) ta trừ đi một lượng 
ax b . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của 
n f (x) (ax b)
+ Để tìm a,b ta xét phương trình: n f (x) (ax b) 0 . Để phương trình có 
 n
 ax1 b f (x1)
hai nghiệm x1, x2 ta cần tìm a,b sao cho 
 n
 ax2 b f (x2 )
+ Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại:
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
 a) 5x3 1 3 2x 1 x 4 0
 b) x 2 4 x 2x2 5x 3
Giải: Phương trình đã cho tương đương với: x 2 1 1 4 x 2x2 5x 3 
 x 3 x 3
 (x 3)(2x 1) 
 x 2 1 1 4 x
 1 1 
 x 3 (2x 1) 0
 x 2 1 1 4 x 
 x 3
 1 1
 (2x 1) 0
 x 2 1 1 4 x
Để ý rằng: Với điều kiện x 2;4 thì 
 1 1
 1; 1;2x 1 5 nên 
 x 2 1 1 4 x
 1 1
 (2x 1) 0
 x 2 1 1 4 x
Từ đó suy ra: x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối cùng vô nghiệm ta thường dùng 
 A
các ước lượng cơ bản: A B A với B 0 từ đó suy ra 1 với mọi 
 A B
 A B 0
số A, B thỏa mãn 
 B 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
 a) 3 x2 1 x x3 2
 b) 3 x2 2 3 x x 4 x 7 3x 28 0
Giải:
a). Điều kiện: x 3 2 . + Ta xét: 
x2 3x 9
 2 x2 3x 1 2 x3 2 x4 2x3 7x2 6x 9 0
 x3 2 5
x 0(*) . Điều này luôn đúng.
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: x 3
b.) Điều kiện: x 7 . 
Để đơn giản ta đặt 3 x t 3 7 x t3
Phương trình đã cho trở thành: 
t 2 2t (t3 4) t3 7 3t3 28 0 3t3 t 2 2t 28 (t3 4) t3 7 0
Nhẩm được t 2. Nên ta phân tích phương trình thành:
 4t3 t 2 2t 32 (t3 4) t3 7 1 0
 t 2 2t 4 
 (t 2) 4t 2 7t 16 (t3 4) 0
 3 
 t 7 1 
Để ý rằng 4t 2 7t 16 0 và t3 7 nên ta có 
 2
 2 3 t 2t 4 
 4t 7t 16 (t 4) 0 . Vì vậy phương trình có nghiệm 
 t3 7 1 
duy nhất t 2 x 8 .
Nhận xét: Việc đặt 3 x t trong bài toán để giảm số lượng dấu căn đã giúp 
đơn giản hình thức bài toán .
Ngoài ra khi tạo liên hợp do (t3 4) 0 nên ta tách nó ra khỏi biểu thức để 
các thao tác tính toán được đơn giản hơn.
Ví dụ 3: Giải các phương trình:
 a) 4 x 3 19 3x x2 2x 9 4 20 13 x 2
4 x 3 x 19 3x x x 2 0
 3 3 3 3 
 4 3 19 3x (13 x)
 3 x 3 x 5 x2 x 2 0
 3 3
 4 x2 x 2 x2 x 2
 x2 x 2 0
 3 3 x 3 x 5 
 3 3 19 3x (13 x) 
 4 1 1
 x2 x 2 . 1 0
 3 3 x 3 x 5 3 3 19 3x (13 x) 
 19 1
Dễ thấy với 3 x thì 0,
 3 3 x 3 x 5
 1
 0
3 3 19 3x (13 x) 
 4 1 1
Nên . 1 0 .
 3 3 x 3 x 5 
 3 3 19 3x (13 x) 
 2 x 1
Phương trình đã cho tương đương với x x 2 0 
 x 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 3, x 8 .
 8
b). Điều kiện: x .
 3
Phương trình được viết lại như sau: 5 3x 8 5 x 1 2x 11 25 275
 3x 8 5 3x 8 x 45 x 1 0
 4 4
 2
 5 275
 3x 8 x 45 x 1 0. Điều này là hiển nhiên đúng.
 2 4
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 3, x 8 .
Chú ý: 
Những đánh giá để kết luận A(x) 0 thường là những bất đẳng thức không 
chặt nên ta luôn đưa về được tổng các biểu thức bình phương.
Ngoài ra nếu tinh ý ta có thể thấy: 5 3x 8 3x 4 9(x 7 5 x 1) 0 
5 3x 8 3x 4 9x 63 5 81x 81 Nhưng điều này là hiển nhiên đúng 
 8
do: 5 3x 8 5 81x 81;3x 4 9x 63 với mọi x 
 3
c). Điều kiện: x 0 
Ta nhẩm được x 1; x 3 nên biến đổi phương trình như sau:
 x2 7 x2 7
Ta có: khi x 1 2 , khi x 3 2 nên ta trừ 2 vào 2 
 2 x 1 2 x 1 
 3 x2 7 x2 3 2 x x2 4x 3
vế thì thu được: x 2 2 
 x 2 x 1 x 2(x 1)
 2
 x2 4x 3 x2 4x 3 x 4x 3 0 (1)
 3 3
 x 3x 2x 2(x 1) x 3x 2x 2(x 1) (2)
Giải (1) suy ra x 1, x 3
 3
Giải (2) ta có: x 3x 2x 2(x 1) 
 x3 3x 2 x3 3x 4 0 x 1
Kết luận: Phương trình có nghiệm là x 1; x 3 x3 15 2 x3 8 3x x3 15 x3 8 3x 2.Để phương trình 
 2
có nghiệm ta cần: 3x 2 0 x . Nhẩm được x 1 nên ta viết lại 
 3
phương trình thành: x3 15 4 x3 8 3 3x 3
 x2 x 1 x2 x 1 
 (x 1) 3 0
 3 3
 x 15 4 x 8 3 
 x2 x 1 x2 x 1 
Để ý rằng: 3 0 nên phương trình có nghiệm 
 x3 15 4 x3 8 3
duy nhất x 1
 1 
b). Điều kiện x 3; 
 3 
Ta viết lại phương trình như sau: 3x 1 x 3 1 x 0
 2x 2 1 1 
 1 x 0 2x 2 0
 3x 1 x 3 3x 1 x 3 2 
 x 1
 3x 1 x 3 2
Xét phương trình: 3x 1 x 3 2 . Bình phương 2 vế ta thu được:
 x 0
4x 4 2 (3x 1)(x 3) 4 (3x 1)(x 3) 2x
 2
 x 10x 3 0
 x 5 2 7
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x 1, x 5 2 7 + Ta biến đổi ax2 bx c mP(x) nQ(x) bằng cách đồng nhất hai vế.
Khi đó phương trình trở thành: mP(x) nQ(x) d P(x).Q(x)
Chia hai vế cho biểu thức Q(x) 0 ta thu được phương trình:
 P(x) P(x) P(x)
m n d . Đặt t 0 thì thu được phương trình:
 Q(x) Q(x) Q(x)
mt 2 dt n 0 .
Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng:
aPn (x) bQn (x) cPn k (x)Qk (x) d 2n P(x).Q(x) 0 thì ta luôn giải được 
theo cách trên.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
 a) 2(x2 3x 2) 3 x3 8
 b) x 1 x2 4x 1 3 x
 c) 4x2 3 x2 x x 1 2 x3 1 
Lời giải:
a). Điều kiện: x 2 .
Ta viết lại phương trình thành: 2(x2 3x 2) 3 (x 2)(x2 2x 4)
Giả sử x2 3x 2 m(x 2) n(x2 2x 4) . Suy ra m,n phải thỏa mãn m n 2 1
 m 
 2 2 2 2
2x 11x 2 m(x 2x 1) n(x 4x 1) 2m 4n 11 
 5
 m n 2 n 
 2
Phương trình trở thành: 
 1 5
 (x2 2x 1) (x2 4x 1) 2 (x2 2x 1)(x2 4x 1) 0
 2 2
Chia phương trình cho x2 2x 1 0 ta thu được:
 x2 4x 1 x2 4x 1 x2 4x 1 
 1 5 2 4 2 0 . Đặt t 2 0 ta có 
 x 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 
 t 1 2
 2 1 x 4x 1 1
Phương trình 5t 4t 1 0 1 t 2 
 t 5 x 2x 1 25
 5
 1
 x 
 24x2 102x 24 0 4
 x 4
 1
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x , x 4
 4
Nhận xét: Trong lời giải ta đã biến đổi: 
(x 1) x2 4x 1 (x2 2x 1)(x2 4x 1) là vì x 1 0
c). Điều kiện: x 1
 2 
Ta viết lại phương trình thành: x 1 2x 2x 2 3x x 1 0 
 x 1
 2
 2x 2x 2 3x x 1 0