Chuyên đề Một số phương pháp giải hệ phương trình - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:
a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 
 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó 
 không đổi 
b) Tính chất
 Nếu x0 , y0 là một nghiệm thì hệ y0 , x0 cũng là nghiệm
 S x y 2
c) Cách giải: Đặt điều kiện S 4P quy hệ phương trình về 2 
 P x.y
 ẩn S, P
 Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện 
 trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ 
 S, P từ đó suy ra qua hệ x, y .
 Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
 3 3
 x y 2xy 2 x y 19
 a) b) 
 3 3 
 x y 8 x y 8 xy 2
 3 2 3 2
 2 x y 3 x y xy x y xy 3
 c) d) 
 3 3 x 1 y 1 4
 x y 6 
Giải:
 S x y 2
a) Đặt điều kiện S 4P hệ phương trình đã cho trở thành:
 P x.y 2 a 2 x 8 a 4 x 64
 X 6X 8 0 X1 2; X 2 4  
 b 4 y 64 b 2 y 8
 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm x; y 8;64 , 64;8 
 xy 0 S x y 2
d) Điều kiện: . Đặt điều kiện S 4P hệ phương 
 x, y 1 P x.y
 trình đã cho trở thành:
 2
 S P 3 S 3; P S 3 
 S 2 2 S P 1 16 2
 2 S S 3 1 14 S
 2
 3 S 14; P S 3 3 S 14; P S 3 
 2 2 2
 4 S 8S 10 196 28S S S 30S 52 0
 S 6
 . Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 3;3 .
 P 9 x y 3
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
 2 2 2xy
 x2 y2 2xy 8 2 x y 1
a) c) x y
 x y 4 2
 x y x y
 1 
 x y 1 5 3 2 2 3
 xy x y 1 y x y 2 y xy 30 0
b) d) 
 1 x2 y x 1 y y2 y 11 0
 x2 y2 1 9 
 2 2 
 x y 
Giải:
a) Đặt x a, y b điều kiện a,b 0 . Với x y 1 thay vào (2) ta được: 1 1 y 2 y y 0, y 3
 2xy
 Xét x y 1 x y 1 1 x2 y2 x2 y2 x y 0 (không 
 x y
 thỏa mãn điều kiện).
 Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 1;0 , 2;3 .
c) Điều kiện: xy 0 .
 Hệ đã cho tương đương:
 1 1 
 1 1 x y 5
 x y 5 
 x y x y 
 . 
 1 1 2 2
 x2 y2 9 1 1 
 x2 y2 x y 9
 x y 
 1 1 
 x y S
 x y 
Đặt 
 1 1 
 x . y P
 x y 
 Hệ trở thành: 
 1 1
 x 2; y 3
 S 2 2P 9 x y
 S 5, P 6 . 
 S 5 1 1
 x 3; y 2
 x y
 3 5
 x 1; y 
 2
 . Vậy hệ đã cho có nghiệm: 
 3 5
 x ; y 1
 2
 3 5 3 5 
 x; y 1; , ;1 .
 2 2 Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng 
 x y 0
 x y f x; y 0 . 
 f x; y 0
 Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
 2 2 2
 x x 2y x 1 y 6 y x 1 
 a) b) 
 2 2 2
 y y 2x y 1 x 6 x y 1 
 3
 x 3x 1 2x 1 y
 c) d) 
 3
 y 3y 1 2y 1 x
Giải:
a) Điều kiện: x, y 0 . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: 
 x2 x y2 y 2 y x 
 x y x y x y 1 2 x y 0
 Vì x y x y 1 2 x y 0 
 nên phương trình đã cho tương đương với: x y . 
 Hay 
 x 0
 x2 2x x 0 x2 x 2x x x 1 x x 1 0 x 1
 3 5
 x 
 2
 3 5 3 5 
 Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: x; y 0;0 , 1;1 , ; 
 2 2 1
 Để ý rằng x y không phải là nghiệm.
 2
 Ta xét trường hợp x y 1
 Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: 
 x3 3x 1 2x 1 y3 3y 1 2y 1 y x
 2 x y 
 (x y) x2 xy y2 4(x y) 0
 2x 1 2y 1
 2 
 (x y) x2 xy y2 4 0 x y
 2x 1 2y 1 
 Khi x y xét phương trình: 
 x3 2x 1 2x 1 0 x3 2x 2x 1 1 0
 2 2x 2 2 
 x(x 1) 0 x x 1 0 x 0
 2x 1 1 2x 1 1 
 Tóm lại hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x y 0
HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP
+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp
+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra 
 phương trình đẳng cấp.
 Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:
 ax2 bxy cy2 d
+ , 
 2 2
 ex gxy hy k Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có: 
 6(x3 y3 ) (8x 2y)(x2 3y2 ) đây là phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ 
 đó ta có lời giải như sau:
 Vì x 0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y tx . Khi đó hệ thành:
 2 3
 3 3 3 3
 x 8x t x 2tx x 1 t 2t 8 1 t t 4
 x2 3 3 t 2 x2 1 2 2 1 3t 2 3
 x 1 3t 6
 1
 t 
 3 2 2 3
 3 1 t t 4 1 3t 12t t 1 0 .
 1
 t 
 4
 x2 1 3t 2 6
 1 x 3
* t x .
 3 y y 1
 3
 4 78
 x 
 1 13
* t .
 4 78
 y 
 13
 Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: 
 4 78 78 4 78 78 
 (x; y) 3,1 ; 3, 1 ; , ; , 
 13 13 13 13 
 b). Phương trình (2) của hệ có dạng: 2
 x 2y 3 2y 3 0
 a)
 3 3 2
 2 2y x 3y x 1 6x x 1 2 0
 1 2x x y
 2
 b) 3x 3y 2x y
 2 2x y 2x 6 y
Giải:
a) Điều kiện: x2 2y 3 0.
 Phương trình (2) tương đương:
 2 2y3 x3 3y x 1 2 6x2 6x 2 0 2 x 1 3 3y x 1 2 4y3 0
 Đây là phương trình đẳng cấp giữa y và x 1. 
+ Xét y 0 hệ vô nghiệm
+ Xét y 0 . Đặt x 1 ty ta thu được phương trình: 2t3 3t 2 4 0
 Suy ra t 2 x 1 2y
 Thay vào phương trình (1) ta được: 
 14 5
 x2 x 2 x 4 x y .
 9 18
 14 5 
 Vậy hệ có một cặp nghiệm: x; y ; .
 9 18 
b) Dễ thấy phương trình (1) của hệ là phương trình đẳng cấp của x và y
 Điều kiện: y 0; 3 x 0 . 2
 3x3 y3 x y x2 y2 2x4 3x3 y 2x2 y2 xy3 2y4 0
 x y
 2 2 
 (x y)(x 2y)(2x xy y ) 0 x 2y
 2 2
 2x xy y 0
 2
 2 2 7 2 y 
+ Nếu 2x xy y 0 x x 0 x y 0 không thỏa 
 4 2 
 mãn.
 2
+ Nếu x y ta có 2x2 1 x 
 2
 5
+ Nếu x 2y 5y2 1 y 
 5
 Tóm lại hệ phương trình có các cặp nghiệm: 
 2 2 2 2 2 5 5 2 5 5 
 x; y ; , ; , ; , ; 
 2 2 2 2 5 5 5 5 
 x2 y 1 2x(y 1) 1
b) Điều kiện y 1. Ta viết lại hệ thành: 
 3
 x 3x(y 1) 6
 Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối 
 với x, y 1
 Dễ thấy y 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình.
 Xét y 1. Đặt x t y 1 thay vào hệ ta có: 
 y 1 3 t 2 2t 1
 3 2 t 0
 t 3t 6(t 2t) 0 
 3 3 t 3
 y 1 t 3t 6
+ Nếu t 0 thì x 0 . Không thỏa mãn hệ