Chuyên đề Một số đề ôn thi vào Lớp 10 THPT - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT
 ĐỀ SỐ 1
 2 3 5 x 7 2 x 3
Câu 1) Cho biểu thức A : 
 x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x
 x 0, x 4 .
 1) Rút gọn biểu thức A .
 2) Tính giá trị của A khi x 3 2 2
 3) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 2) Cho phương trình x2 m 1 m2 m 2 0 , với m là tham số.
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với 
 mọi m .
 b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 . Tìm m để biểu 
 3 3
 x x 
 thức A 1 2 đạt giá trị lớn nhất.
 x2 x1 
Câu 3) Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận 
tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc 
dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.
Câu 4) Từ điểm K nằm ngoài đường tròn O ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB 
cát tuyến KCD đến O sao cho tia KC nằm giữa hai tia KA, KO . Gọi 
H là trung điểm CD . 
a) Chứng minh: 5 điểm A, K, B,O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp.
c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh 
 CI  OB . Câu 5) Cho nửa đường tròn O; R đường kính BC . A là một điểm di 
động trên nửa đường tròn. Vẽ AH vuông góc với BC tại H . Đường tròn 
đường kính AH cắt AB, AC và nửa đường tròn O lần lượt tại D, E, M . 
AM cắt BC tại N .
a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ·AME ·ACN .
 DE3
b) Tính theo R và chứng minh rằng D, E, N thẳng hàng.
 BD.CE
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn nhất.
Câu 6) Cho x, y 0 và x2 y3 x3 y4 . Chứng minh rằng: x3 y3 2 .
 ĐỀ SỐ 3
 a3 b3 a b
Câu 1) Cho b a 0 . Xét biểu thức: P 
 a b a b b a
.
 a) Rút gọn P .
 b) Biết a 1 b 1 2 ab 1, hãy tính giá trị của biểu thức P .
Câu 2) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y mx 4 .
 a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân 
 biệt A, B .Gọi x1, x2 là hoành độ của các điểm A, B . Tìm giá trị 
 2 x1 x2 7
 lớn nhất của Q 2 2 .
 x1 x2
 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 .
Câu 3) Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A, B 
cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5h. Hỏi sau khi gặp 1 1 9
 x y 
 x y 2
Câu 3) Giải hệ phương trình .
 1 5
 xy 
 xy 2
Câu 4) Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn O . Từ A 
vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn O ( B,C là hai tiếp điểm). Gọi 
H là giao điểm của AO và BC. Qua A vẽ cát tuyến ADE của đường tròn 
 IO ; D và E thuộc đường tròn O sao cho đường thẳng AE cắt đoạn 
thẳng HB tại I . Gọi M là trung điểm dây cung DE .
a) Chứng minh AB2 AD.AE .
b) Chứng minh năm điểm A, B, M ,O,C cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp.
d) Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho H là trung điểm DF . Tia 
AO cắt đường thẳng EF tại K . Chứng minh IK / /DF .
 1 a b b c c a
Câu 5) Cho a,b,c ;1 . Chứng minh rằng: 2 3 .
 2 1 c 1 a 1 b
 ĐỀ SỐ 5
 x 3 x 2 x 2 x 
Câu 1) Cho 
 P : 1 
 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 
 a) Rút gọn P .
 b) Tìm x nguyên để P 0.
 1
 c) Tìm x để Q nhỏ nhất.
 P
Câu 2) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y m 5 x m với 
m là tham số. Câu 2) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn 
a b c a b c 2 . Chứng minh rằng: 
 a b c 2
 .
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 
 n n
 3 5 3 5 
Câu 3) Chứng minh: a 2 là số chính phương 
 n 
 2 2 
với mọi số tự nhiên lẻ.
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao 
AD, BE,CF đồng quy tại điểm H . Đường thẳng CH cắt (O) tại điểm G 
khác C . GD cắt (O) tại điểm K khác G . 
 a) Chứng minh OA vuông góc với EF .
 b) Chứng minh: AK đi qua trung điểm M của DE .
 c) Gọi N là trung điểm của DF , AN cắt (O) tại điểm L khác A 
 .Chứng minh 4 điểm M , L, N, K cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5) Cho a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 1.
 a2 b2 c2 3
Chứng minh rằng: .
 1 2bc 1 2ca 1 2ab 5
Câu 6) Cho tập hợp M gồm 1009 số nguyên dương đôi một khác nhau và 
số lớn nhất trong M bằng 2016 . Chứng minh rằng trong tập M có hai số, 
mà số này là bội của số kia.
 ĐỀ SỐ 7.
Câu 1) Giải phương trình x4 4x3 6x2 4x x2 2x 17 3 .
 2015
Câu 2) Tìm ba chữ số tận cùng của A = 266 .
Câu 3) 3 2
 x 3y 6y 11 0
Câu 2) Cho các số x, y thỏa mãn: 2 2 2 .Tính giá trị 
 x y x 3 2y 3 0
của P x3 y3 .
Câu 3) Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 22012 22015 2n là số chính 
phương.
Câu 4) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB AC . Tiếp tuyến tại A 
của (O) cắt BC tại T Dựng đường kính AD , OT cắt BD tại điểm E .Gọi 
M là trung điểm của BC .
 a) Chứng minh: E· OD ·AMC .
 b) Chứng minh: AE / /CD .
 c) Giả sử BE cắt AT tại điểm F . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 AEF cắt OE tại điểm G khác E . Chứng minh tâm đường tròn nội 
 tiếp tam giác AGB nằm trên (O) .
Câu 5) Cho tập hợp X 1,4,7,10,...,100 . Gọi A là một tập con của tập 
X mà số phần tử của A bằng 19. Chứng minh rằng trong A có hai phần tử 
phân biệt mà tổng của chúng bằng 104.
 ĐỀ SỐ 9.
Câu 1) Cho các số x, y, z thỏa mãn x 1 2y2 y 4 6z2 z 15 3x2 4
.
Tính giá trị của biểu thức P x2 2y2 3z2 .
 1 1 1 1
Câu 2) Tìm phần nguyên của : A 1 ... .
 2 3 20142 20162
Câu 3) c) Với mọi x, y A thì x y A và xy A . Chứng minh rằng 
 1
 A.
 2 3
Câu 4) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp (O) . Đường tròn tâm 
C bán kính CB cắt BA tại điểm D khác B và cắt (O) tại E khác B . 
DE cắt (O) tại điểm F khác E . CO cắt DE, AB lần lượt tại G, L . Lấy 
các điểm M , N lần lượt thuộc LE, LF sao cho MG,DN cùng vuông góc 
với BC . Gọi H là giao điểm của CF, BE .
 a) Chứng minh: Tứ giác CHDE nội tiếp.
 b) Chứng minh: Tứ giác HGLF nội tiếp.
 c) Chứng minh: DN MG .
Câu 5) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab bc ca abc 2 . Chứng 
minh rằng a2 b2 c2 abc 4 .
 LỜI GIẢI CÁC ĐỀ TOÁN RÈN LUYỆN
ĐỀ SỐ 1.
Câu 1) 
 1) Với x 0, x 4 biểu thức có nghĩa ta có:
 2 3 5 x 7 2 3 3
A :
 x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x
 2 2 x 1 3 x 2 5 x 7 2 x 3
 :
 x 2 2 x 1 5 x x 2 
 2 x 3 5 x x 2 5 x
 . .
 x 2 2 x 1 2 x 3 2 x 1 1
 A t 2 , suy ra A 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 t
 1
t t 2 1 t 1. Với t 1, ta có 
 t
 3
 x1 x1
 1 1 x1 x2 x1 x2 0 m 1 0 m 1. 
 x2 x2
Vậy với m 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là 2 .
Câu 3) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x 0 )
Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y 0
Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên 
 78
thời gian đi là (giờ). 
 x y
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên 
 44
thời gian đi là (giờ).
 x y
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta 
 78 44
có phương trình: 5 (1).
 x y x y
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:
 13 11
 1 (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
x y x y
 78 44
 5
 x y x y x y 26 x 24
 .
 13 11 x y 22 y 2
 1 
 x y x y
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
 A
 D
 H
 C
 M
 K
 O
 I
 B