Chuyên đề Một số dạng bài toán thực tế, tối ưu liên quan tới thể tích - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
DẠNG 10: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỰC TẾ, TỐI UU 
A. LÝ THUYẾT 
 1
Thể tích khối chóp V Bh 
 3
Trong đó B : Diện tích đáy; h là chiều cao. 
Thể tích khối lăng trụ V Bh . 
Trong đó : Diện tích đáy; là chiều cao. 
Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh abc,, là V abc 
Thể tích khối lập phương cạnh a là Va 3 . 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CẮT GHÉP HÌNH 
 Ví dụ 1 
 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình 
 vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới 
 đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 
 Lời giải 
Khi cắt ở bốn góc các hình vuông có độ dài mỗi cạnh là x cm thì chiều dài đáy hộp là 12 2x 
 cm .(điều kiện 06 x ) 
Sau khi gấp tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp thì chiều cao của cái hộp là . 
Thể tích của chiếc hộp V 12 2 x 2 . x . 
Bài toán trở thành thành tìm x để biểu thức lớn nhất. 
Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cô – si 
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho ba số dương 4xxx ;12 2 ;12 2 ta có 
 3
 112 4xxx 12 2 12 2 
 .4xx 12 2 128. 
 4 4 27
Dấu "" xảy ra khi 4x 12 2 x x 2. 
Vậy khi x 2 thì thể tích cái hộp thu được là lớn nhất. 
Cách 2: Lập bảng biến thiên 
Xét hàm số y 12 2 x 2 . x 4 x32 48 x 144 x trên khoảng 0;6 ta có 
1 
 500 2000
Ta có S S S x. x 4. hx x2 4 hx xx2 4. x2 . 
 đáy xung quanh x2 x
 2000
Bài toán trở thành tìm x x 0 để hàm số f x x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
 x
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si 
 1000 1000
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương x2 ;; ta có 
 xx
 2000 1000 1000 1000 1000
 f x x2 x 2 33 x 2 . . 300 . 
 x x x x x
 1000
Dấu "" xảy ra khi x23 x 1000 x 10 . 
 x
Vậy khi cạnh đáy của hình hộp bằng 10 thì chiếc hộp làm ra sẽ ít tốn bìa các tông nhất. 
Cách 2. Lập bảng biến thiên của hàm số 
 2000
Xét hàm f x x2 với x 0 ta có 
 x
 2000 2000
 f x 2 x ; giải phương trình f x 0 2 x 0 x3 1000 x 10. 
 x2 x2
Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số là 300 đạt được khi x 10 . 
 Ví dụ 4 
 (Bài tập tương tự) Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật (không nắp) bằng 
 tôn thể tích . Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh , chiều cao . 
 Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm để bác thợ sử dụng ít 
 nguyên liệu nhất. 
3 
 Ví dụ 6 
 Cho miếng bìa hình vuông cạnh bằng . Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta 
 cắt bỏ tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại 
 thành hình chóp tứ giác đều (tham khảo hình vẽ bên dưới). Để mô hình có thể tích lớn nhất thì 
 cạnh đáy của mô hình bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
 S
 S
 B
 I
 C
 D C
 O I
 A B
 52
Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông ABCD, điều kiện 0 x . 
 2
Gọi O là tâm của hình vuông ABCDthì SO ABCD . 
 2 2
 52 x 52 xx 5 2 5 2 2x
Có , 22 . 
 SI SO SI OI 
 2 22 22 
 1 1 5 2 5 2 2x 1 5 2 5 2
Có V SO. S x2. . xx4 . 
 ABCD 
 3 3 2 2 3 5 2
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 5số dương: 
 x x x x 52 x x x x x x x x 52 x x x x
Có 5 . 
 5. 
 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4
5 
 Ví dụ 8 
 Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 
 bằng . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây 
 bể là đồng/ . Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê 
 nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu? 
 Lời giải 
Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích 
xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất. 
Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c . acm 0, m 0
Ta có diện tích cách mặt cần xây là S 2 a22 4 ac 2 ac 2 a 6 ac . 
 144
Thể tích bể V a.2 a . c 2 a2 c 288 c . 
 a2
 144 864 432 432 432 432
Vậy S 26. a2 a 2 a 2 2 a 2 3.2..3 a 2 216 . 
 a2 a a a a a
 432
Dấu "" xảy ra khi 2a23 a 216 a 6 . 
 a
 2
Vậy Smin 216m . 
Chi phí thấp nhất là 216 500000 108 triệu đồng. 
 Ví dụ 9 
 Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 
 bằng , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để 
 xây bể là đồng/ . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí 
 thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó 
 là bao nhiêu? 
 Lời giải 
Gọi x m x 0 là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2mx và h m là chiều 
cao bể. 
 256 256 128
Bể có thể tích bằng m3 2xh2 h . 
 3 3 3x2
 128 256
Diện tích cần xây là: S 2 xh 2 xh 2 x2 6x 2 x22 2 x . 
 3xx2
 256 256
Xét hàm S x 2 x2 , x 0 S x 40 x x 4. 
 x x2
Lập bảng biến thiên suy ra SSmin 4 96. 
7 
 24 24 2 24 24
Do đó S x 3 x 33 . .3x2 36, với mọi 06 x . 
 xx xx
 2 24 2
Vậy Smmin 36 khi 3x hay x 2 . Vậy chi phí xây hồ là 18 triệu đồng. 
 x
 Ví dụ 12 
 Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 
 , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích của 
 đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. 
 Lời giải 
Gọi chiều rộng của đáy là x cm , x 0 . 
 3200 1600
Khi đó chiều cao của hố ga là 2x và chiều dài của hố ga là . 
 x.2 x x2
 1600 2 1600 
Diện tích xung quanh hố ga là Sxq 2 x .2 x 2 2 .2 x 4 x 
 xx 
 1600 1600
Diện đáy của hố ga là .x . 
 xx2
 1600 8000
Tổng diện tích xây hố ga đó là S 4 x22 5. 4 x 
 xx
 Để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì S phải nhỏ nhất. 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có 
 4000 4000 4000 4000
S 4 x22 33 4 x . . 1200 cm2 . 
 x x x x
 4000
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4xx2 10 (TM). 
 x
 1600
Khi đó diện tích đáy của hố ga là 160 cm2 . 
 10
9