Chuyên đề Một số bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng - Toán hình 10

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
 TRƯỜNG THPT HỒNG LĨNH
 CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG 
 THẲNG
 Người thực hiện : TRƯƠNG THỊ THU HIỀN
 HỒNG LĨNH NĂM 2023
 1 CHUYÊN ĐỀ 
 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH 
 ĐƯỜNG THẲNG.
I. MỞ ĐẦU
 1. Lý do chọn đề tài
 Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục 
phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá. 
Việc đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp kiểm tra đánh giá môn 
Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học 
sinh trong việc tiếp thu kiến thức qua đó khai thác vận dụng những kỹ năng 
để giải toán.
 Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT , cũng như các kỳ thị lớp lớp 12 ở 
những năm gần đây đều thi dưới hình thức thi trắc nghiệm nên đòi hỏi kỹ 
năng giải toán phải linh hoạt, sáng tạo không thụ động. Khi đứng trước một 
bài toán học sinh phải hình dung và định hướng được ngay cách giải mới 
đáp ứng được kết quả cao. Qua quá trình giảng dạy ở trường phổ thông 
nhiều năm bản thân tôi đã trực tiếp dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, 
trung bình đến bồi dưỡng học sinh khá; song, tôi nhận thấy rằng việc giải 
một bài toán trắc nghiệm học sinh mất phương hướng, đặc biệt là đối với đối 
tượng học sinh có học lực yếu, trung bình cũng như khá để tìm ra đáp án 
đúng, đôi khi học sinh giải bài toán đó như theo hướng tự luận mất rất nhiều 
thời gian, trong khi, yêu cầu bình quân mỗi câu trắc nghiệm chỉ mất tối đa là 
gần 2,0 phút phải cho đáp số ở những câu hỏi dạng nhận biết.
 3  
 * AB xB xA; yB yA 
  
 2 2
 * AB AB (xB xA ) (yB yA ) 
 + I(xI ; yI ) là trung điểm của AB, G(xG ; yG ) là trọng tâm ABC :
 x x
 x A B
 I 2
 * 
 y y
 y A B
 I 2
 x x x
 x A B C
 G 3
 * 
 y y y
 y A B C
 G 3
 Gäi M Trung ®iÓm AB; G, I, H träng t©m,t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp, trùc 
t©m tam 
 gi¸c ABC. Nªu c¸c c¸ch t×m to¹ ®é cña chóng. 
      
 Chó ý BiÓu thøc vÐct¬: IA IB IC IH 3IG .
 + BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h­íng: Cho a(x1;y1); b(x2;y2 )th×:
 x1x2 y1y2
 a.b x1x2 y1.y2 và cos a;b 
 2 2 2 2
 x1 y1 x2 y2
 Hệ quả: a  b a.b 0 x1x2 y1.y2 0 
2. Vectơ u 0 đgl vtcp của nếu giá của u song song hoặc trùng với 
 di qua M 0 x0 ; y0 x x0 u1t
 : có phương trình tham số là: 1 
 vtcp u u1;u2 y y0 u2t
3. Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng 
 u2
4. Nếu có vtcp u u1;u2 thì có hệ số góc là k u1 0 
 u1
Chú ý: nếu u1 0 và u2 0 thì pt 1 có thể viết lại là:
 x x y y
 0 0 2 phương trình này đgl phương trình chính tắc của đường 
 u1 u2
thẳng (trường hợp a 0 hoặc b 0 thì không có pt chính tắc)
2.2. Thực trạng của đề tài
 2.2.1. Thuận lợi
 5 - Áp dụng các dạng phương trình đường thẳng đã nêu để viết phương 
trình đường thẳng đó.
2.3.1. Các dạng bài tập cụ thể
II:LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ n 0 đgl vtpt của đường thẳng nếu giá của n vuông góc với 
 di qua M 0 x0 ; y0 
 : có phương trình tổng quát là: a x x0 b y y0 0
 vtpt n a;b 
2. Muốn tìm một điểm thuộc thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt 
của sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)
3. Nếu có vtpt n a;b thì có vtcp là u b;a hoặc u b; a 
Bài tập 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp 
sau:
a) Qua M 1; 2 và có vtcp u 2; 3 
b) Qua gốc tọa độ O và có vtcp u 3;5 
c) Qua N 3;2 và có vtpt n 3;7 
d) Qua M 4;1 ; N 4;2 
e) Qua M 5; 8 và có hệ số góc k 3
f) Qua Q 2;1 và song song với đường thẳng d có pt: 2x y 5 0
g) Qua P 1;1 và vuông góc với đường thẳng d có pt: 2x 3y 1 0 
 giải
 qua M 1; 3 x 1 2t
a) : có phương trình tham số là: 
 vtcp u 2; 1 y 3 t
 x 1 y 3
và phương trình chính tắc của là: 
 2 1
 qua O 0;0 x 3t
b) : có phương trình tham số là: 
 vtcp u 3;5 y 5t
c) có vtpt n 3;7 có vtcp là u 7;3 
 qua N 3;2 x 3 7t
 : có phương trình tham số là: 
 vtcp u 7;3 y 2 3t
  
d) qua M 4;1 ; N 4;2 nên có vtcp là MN 0;1 
 M N
 7 
b) có vtcp u 3;7 có vtpt là n 7; 3 
Phương trình tổng quát của là: 7 x 1 3 y 2 0 7x 3y 1 0
  
c) qua M 4;1 ; N 5;3 nên có vtcp là MN 1;2 có vtpt là n 2; 1 
Phương trình tổng quát của là: 2 x 4 1 y 1 0 2x y 7 0
d) Cách 1: có hệ số góc k 3 nên phương trình có dạng: y 3x m
 qua M 5; 8 nên: 8 3. 5 m m 23
Vậy pt là: y 3x 23 hay 3x y 23 0
Chú ý: Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y kx m
Cách 2: qua M 5; 8 và có hệ số góc k 3 nên pt là:
 y 8 3 x 5 3x y 23 0
e) Cách 1: song song với đường thẳng d :3x 4y 7 0 có vtpt là 
n 3;4 
Phương trình tổng quát của là: 3 x 2 4 y 5 0 3x 4y 26 0
Cách 2: song song với đường thẳng d :3x 4y 7 0 nên phương trình 
có dạng: 3x 4y c 0
 qua điểm M 2;5 nên: 3.2 4.5 c 0 c 26
Vậy phương trình tổng quát của là: 3x 4y 26 0
f) Cách 1: vuông góc với đường thẳng d :3x 4y 7 0 nên có vtcp là: 
u 3;4 
 có vtpt là n 4; 3 
Phương trình tổng quát của là: 4 x 2 3 y 5 0 4x 3y 7 0
Cách 2: vuông góc với đường thẳng d :3x 4y 7 0 nên phương trình 
có dạng: 4x 3y c 0
 qua điểm M 2;5 nên: 4.2 3.5 c 0 c 7
Vậy phương trình tổng quát của là: 4x 3y 7 0
Chú ý: Đường thẳng / /d : ax by c 0 (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên 
pt có dạng: ax by d 0 (với d là hệ số ta cần xác định)
Đường thẳng  d : ax by c 0 (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên pt 
có dạng: bx ay d 0 (với d là hệ số ta cần xác định)
  
g) đi qua A 5;0 ; B 0;2 nên có vtcp là AB 5;2 có vtpt là: 
n 2;5 
Phương trình tổng quát của là: 2 x 5 5 y 0 0 2x 5y 10 0
 9 x x0 u1t
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 
 y y0 u2t
Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì 
H H x0 u1t; y0 u2t tọa độ AH
   
Bước 2: Do AH  nên AH  u AH.u 0 t tọa độ H
Bước 3: A là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H 
là trung điểm của AA A
Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: ax by c 0
 H ∆
Gọi H xH ; yH là hình chiếu của điểm A trên ∆ 
 H 
Khi đó A’
 AH  
H axH byH c 0 (1)
  
 AH  AH xH xA; yH yA cùng phương với n a;b 
Do đó: b xH xA a yH yA 0 (2)
Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Bài tập 4: Cho đường thẳng : x 2y 4 0 và điểm A 4;1 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên 
b) Tìm điểm A là điểm đối xứng của A qua 
 Giải
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên 
Đường thẳng AH  pt AH có dạng: 2x y c 0
AH đi qua A nên: 2.4 1 c 0 c 9
Vậy phương trình AH là: 2x y 9 0
+ H AH  
 14
 x 
 2x y 9 0 5 14 17 
Tọa độ H là nghiệm hệ: H ; 
 x 2y 4 0 17 5 5
 y 
 5
b) A là điểm đối xứng của A qua H là trung điểm của AA 
 x x 8
 x A A x 
 H 2 A 5 8 29 
 A ; 
 yA yA 29 5 5 
 y yA 
 H 2 5
Bài toán: Lập phương trình đường thẳng d1 đối xứng với đường thẳng d 
qua I
 11