Chuyên đề Mở đầu về phương trình Toán 8

 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH 
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN 
1. PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
Ví dụ 1: Ta gọi các hệ thức: 
 2x 3 x 2 là một phương trình với ẩn số x. 
 3y 2 y là một phương trình với ẩn số y. 
từ đó ta có được định nghĩa về phương trình một ẩn: 
Một biểu thức x có dạng: 
 Ax Bx 
trong đó vế trái A x và vế phải B x là hai biểu thức của cùng một biến x, gọi là phương trình một 
ẩn. 
 Chú ý: 
 Hệ thức x m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là 
 nghiệm duy nhất của nó. 
 Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào 
 hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 2: Hãy cho ví dụ về: 
a) Phương trình với ẩn y. 
b) Phương trình với ẩn u. 
 Giải 
Ta lần lượt có: 
. Phương trình với ẩn y là 3y 4 0 . 
. Phương trình với ẩn u là 1 4u u 1 
Ví dụ 3: Khi x 6, tính giá trị mỗi vế của phương trình: 2x 5 3 x 1 2 
 Giải 
Với x 6 thì: 
VT 2 x 5 2.6 5 17; VP 3 x 1 2 3 6 1 2 17 . 
 Nhận xét: Ta thấy hai vế của phương trình cùng nhận một giá trị khi x 6. Ta nói x 6 là một 
nghiệm của phương trình. 
Ví dụ 4: Cho phương trình 2 x 1 7 3 x . 
a. x 2 có thỏa mãn phương trình không? 
b. x 2 có là một nghiệm của phương trình không? 
 Giải 2. Nếu S1 S 2  thì hai phương trình cũng tương đương, do đó “Hai phương trình vô nghiệm 
 cũng tương đương với nhau”. 
Ví dụ 7: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao? 
 x 1 2, (1) 
 x2 8 x 15 0. (2) 
 Giải 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: 
Cách 1: Giải phương trình (1), ta được: 
x 1 S1 1 . 
Giải phương trình (1), ta được: 
xx2 8 15 0 xx 2 8 16 1 0 
 x42 1 0 xx 4 1 4 1 0 
 xx5 3 0 x 5 hoặc x 3 S2 5,3 
Vậy, ta thấy S1 S 2 do đó hai phương trình không tương đương. 
Cách 2: Giải phương trình (1), ta được: 
x 1 S1 1 
Thay x 1 vào phương trình (2), ta được: 
12 8.1 15 0 8 0 , mâu thuẫn 
tức là, x 1 không phải là nghiệm của (2). 
Vậy, hai phương trình không tương đương. 
 Nhận xét: 
 1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi 
 giải phương trình (1) rồi nhận xét rằng x 1 không phải là nghiệm của phương trình (2), từ đó 
 kết luận “Hai phương trình tương đương”. Sở dĩ chúng ta lựa chọn hướng làm như vậy là bởi 
 việc giải phương trình (2) là khó khăn. 
 2. Như vậy, để chứng tỏ hai phương trình không tương đương, ta có thể lựa chọn một trong hai 
 cách: 
 Cách 1: Tìm tập hợp nghiệm của mỗi phương trình, rồi đưa ra nhận xét về hai tập hợp này. 
 Cách 2: Chỉ ra một giá trị của ẩn là nghiệm của phương trình này nhưng không là nghiệm của 
 phương trình kia. 
B. BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN 
Dạng toán 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
VÍ DỤ 1: Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x 1 có là nghiệm của nó không? 
a. 4x 1 3 x 2. b) x 1 2 x 3 . c) 2 x 1 3 2 x .  Hướng dẫn: Thực hiện phương pháp chuyển vế hoặc chuyển vế dạng tích. 
 Giải 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: 
Cách 1: Biến đổi phương trình như sau: 
x2 4 5 x 2 9 3 2 x 3 hoặc x 3 . 
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 3 và x 3 . 
Cách 2: Biến đổi phương trình như sau: 
x2 4 5 x 2 9 0 xx 3 3 0 
 x 3 0
 x 3 hoặc x 3 . 
 x 3 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 3 và x 3 . 
 Nhận xét: Qua lời giải trên ta nhận thấy: 
 1. Phương trình: 
 x2 a 2 x a. 
 2. Phương trình: 
 A 0
 AB. 0 A 0 hoặc B 0 hoặc viết . 
 B 0
VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau: 
 1
a. x 2 x 2 x2 4 c. x . 
 2
 1
b. 0. d. 2x 2 2 x 3 
 x 1
 Hướng dẫn: Sử dụng các phép đánh giá khác nhau cho mỗi phương trình. 
 Giải 
a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng: 
 xx 2 2 x2 4 x 2 4 x 2 4 , luôn đúng với mọi x. 
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S . 
b. Nhận xét rằng: 
VT 0 , với mọi x 1 
do đó phương trình vô nghiệm. 
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  . 
c. Nhận xét rằng: 
 1
VT x 0, với mọi x; VP , luôn âm, do đó phương trình vô nghiệm. 
 2
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  . 
d. Nhận xét rằng: suy ra: 
VT VP 
Vậy, phương trình luôn nhận x 2 làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào. 
VÍ DỤ 8: Cho phương trình: 
 m2 3 m 2 xm 2 1, với m là tham số. 
Chứng minh rằng: 
a. Với m 1, phương trình nghiệm đúng với mọi x. 
b. Với m 0 , phương trình vô nghiệm. 
c. Với m 3 , phương trình nhận x 1 và x 1 làm nghiệm. 
 Giải 
a. Với m 1, phương trình có dạng: 
 12 3.1 2 x 2 1 1 0 x 2 0 
do đó, phương trình có nghiệm đúng với mọi x. 
b. Với m 0 , phương trình có dạng: 
 02 3.0 2 x 2 0 1 2 x 2 1 
Nhận xét rằng: 
VT 0; VP 1 0 
nên phương rình vô nghiệm. 
c. Với m 3 , phương trình có dạng: 
 32 3.3 2 x 2 3 1 2 xxx 2 2 2 1 1 
do đó, phương trình nhận x 1 và x 1 làm nghiệm. 
Dạng toán 2: HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 
VÍ DỤ 1: Hai phương trình x 0 và x x 1 0 có tương đương không? Vì sao? 
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai phương trình tương đương. 
 Giải 
Hai phương trình đã cho không tương đương, bởi: 
 Tập nghiệm của phương trình x 0 là S1 0 . 
 Tập nghiệm của phương trình x x 1 0 là S2 0;1 . 
Suy ra SS1 2 . 
VÍ DỤ 2: Chứng tỏ rằng cặp phương trình sau là tương đương: 
 x2 4
 0, (1) 
 x 2 c) Số nào trong tập S { 4;0;4} là nghiệm của phương trình một ẩn? 
 Giải 
a) Các phương trình 2,5x 10 0 và 4x2 6 x 5 x 108 là phương trình một ẩn. 
b) Phương trình 2,5x 10 0 là phương trình bậc nhất một ẩn. 
c) Lần lượt thay các giá trị x 4;0;4 vào từng phương trình một ẩn ta có: 
 ⁕ Với x 4 thì 2,5.4 10 0 
 nên x 4 là nghiệm của phương trình 2,5x 10 0 
 ⁕ Với x 4 thì 4x2 6 x 4.( 4) 2 6.( 4) 64 24 88 
 Và 5x 108 5.( 4) 108 88 
 Vậy x 4 là nghiệm của phương trình 4x2 6 x 5 x 108 
 Nhận xét: Muốn xem một số có phải là nghiệm của phương trình ta xét xem giá trị đó của ẩn thoả 
 mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho bằng cách thay vào từng vế của phương trình. Nếu hai 
 vế có cùng giá trị thì số đó là nghiệm của phương trình. 
Ví dụ 2: Cho bốn phương trình: 
 2x 6 0 (1) 
 x2 2 x 3 0 (2) 
 (xx 1)( 5) 2 x2 15 x 47 (3) 
 (5x 15)(x2 1) 0 (4) 
 a) Chứng tỏ rằng x 3 là nghiệm chung của cả bốn phương trình. 
 b) Chứng tỏ rằng x 1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình 
 (1) và (3). 
 c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương không. Tại sao? 
 Giải 
a) Với x 3 
- Thay vào phương trình (1) ta có 2.3 6 6 6 0 
- Thay vào phương trình (2) ta có 32 2.3 3 9 6 3 0 
- Thay vào phương trình (3) ta có: 
 Vế trái (3 1)(3 5) 2.32 2.8 2.9 16 18 2 
 Vế phải 15.3 47 45 47 2 
- Thay vào phương trình (4) ta có (5.3 15)(32 1) (15 15).10 0.10 0 
 x 3 nghiệm đúng cả bốn phương trình nên là nghiệm chung của bốn phương trình. 
b) Với x 1 
- Thay vào phương trình (1) ta có 2.( 1) 6 2 6 8 0 
- Thay vào phương trình (2) ta có: ( 1)2 2.( 1) 3 1 2 3 0 Ví dụ 4: Bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hãy giải các phương trình: 
 a) (xxx 2) (2 4) (3 6) ... (50 x 100) 2550 (1) 
 b) 2x 6 4 3 x (2) 
⁕ Tìm cách giải: 
 Câu a) lưu ý sử dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cộng (từ số thứ hai, các số đều 
 bằng số liền trước cộng với cùng một số): 
 1
 Tổng (số hạng đầu + số hạng cuối) x Số số hạng. 
 2
 A neu A 0 
 Câu b) sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối: nếu A . 
 A ne u A<0
 Sau khi giải xong cần kiểm tra để xác định kết quả tìm được có thoả mãn điều kiện hay không. 
 Giải 
a) (1) (xxx 2 3 ... 50 x ) (2 4 6 ... 100) 2550 
 (1 2 3 ... 50)x (2 4 6 ... 100) 2550 
 (1 50).50 (2 100).50
 x 2550 1275 x 2550 2550 
 2 2
 1275x 2550 2550 1275 xx 5100 5100 :1275 
 x 4 . 
b) 2x 6 4 3 x 
⁕ Nếu x 3 thì 2x 6 0 2 xx 6 2 6 
 Phương trình trở thành 2x 6 4 3 xxx 2 3 =4+6 x= 10 .(loại vì không thoả mãn điều 
kiện) 
⁕ Nếu x 3 thì 2x 6 0 2 x 6 2 x 6 
 Phương trình trở thành 2x 6 4 3 x 2 xx 3 4 6 
 5x 2 x 0, 4 . 
 Vậy phương trình có một nghiệm là x 0, 4 . 
Ví dụ 5: Xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không? Giải thích. 
 a) 5x 5 2 x 7 và 7x 12 0 ; 
 b) 9x 15 12 x 27 và 3x 5 4 x 9 ; 
 c) (5x 15)( x2 1) 0 và 3x 20 11; 
 d) 5x 9 11 và a(5 x 9) 11 a với a là một số. 
⁕ Tìm cách giải: Để xét các cặp phương trình có tương đương hay không, ngoài so sánh các tập 
 nghiệm ta còn sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình. 
 Giải b) Để phương trình có nghiệm là x 2 ta phải có: 
 (m2 9).2 2 2( m 3).2 49 0 
 4mm2 36 4 12 49 0 4 mm 2 4 1 0 
 1
 (2m 1)2 0 2 m 1 0 m . 
 2
Ví dụ 7. Giải phương trình: 
 (xxx 1) ( 2) ( 3) ... ( x 2015) 0 . 
⁕ Tìm cách giải: Vế trái của phương trình là tổng của 2015 các hạng tử, mỗi hạng tử là một hiệu giữa 
 x và một số tự nhiên từ 1 đến 2015. Vậy ta có 2015x còn tổng đại số 1 2 3 ... 2015 ta viết 
 thành (1 2 3 ... 2015) và sử dụng công thức tính tổng của n số tự nhiên khác 0 đầu tiên 
 (1 n ) n
 S để tính. 
 n 2
 Giải 
 Ta có: (xxx 1) ( 2) ( 3) ... ( x 2015) 0 
 2015x (1 2 3 ... 2015) 0 
 (1 2015).2015
 2015x 0 2015 x 1008.2015 0 
 2
 2015x 1008.2015 x 1008 . 
Ví dụ 8. Giải phương trình: 
 x 1 x 2 x 3 x 4
 4 . (1) 
 99 98 97 96
⁕ Tìm cách giải: Ở phương trình (1), nếu ta quy đồng mẫu số ở hai vế thì mẫu số chung rất lớn: 
 99.98.97.96 . Để ý rằng nếu mỗi hạng tử (phân thức) ở vế trái được bớt đi 1 (thêm vàp -1) rồi quy 
 đồng từng cặp thì xuất hiện (x 100) ở tử. Vì vậy ta chuyển 4 tử vế phải sang thành 4 rồi tách 
 4 1 1 1 1 và ghép mỗi số 1 với một hạng tử. (Cũng có thể coi cộng vào hai vế cùng một số 
 4 ). 
 Giải 
 x 1 x 2 x 3 x 4 
a) (1) 1 1 1 1 0 
 99 98 97 96 
 x 100 x 100 x 100 x 100
 0 
 99 98 97 96
 1 1 1 1 
 (x 100) 0 ; 
 99 98 97 96 
 1 1 1 1
 Do 0 . Nên x 100 0 x 100 . 
 99 98 97 96
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN