Chuyên đề Mặt cầu, viết phương trình mặt cầu - Hình học 12

 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1/ Định nghĩa:
 Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả
 2/ Các d ình m t c u : I R
những điạểmngM phươngtrong khôngtr gianặ cáchầ I một khoảng R được gọi A B
 Dạng 2 : Phương trình tổng quát
làD mạngặt c 1ầ u: tâmPhươngI, bán tr kínhình chínhR.
 ():S x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 czd 0
 tắc Kí hiệu: SIR ; S I;/ R M IM R
 Mặt cầu (S) có tâm I a;; b c , (2)
 Điều kiện để phương trình (2)
 bán kính R 0 .
 là phương trình mặt cầu:
 a2 b 2 c 2 d 0
 S : x a 2 y b 2 z c 2 R2
 (S) có tâm I a;; b c .
 (S) có bán kính:
 R a2 b 2 c 2 d .
 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
 Cho mặt cầu SIR ; và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P d IH là
 khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó :
 + Nếu d R : Mặt cầu và mặt + Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc + Nếu d R : Mặt phẳng P 
 ph m chung.
 ẳng không có điể mặt cầu. Lúc đó: P là mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là
 tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp đường tròn có tâm I' và bán
 điểm. kính r R2 IH 2
 M1
 R I I I
 R d
 R I'
 M2 r
 H P H α
 P
 Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó
 được gọi là đường tròn lớn.
 4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
 Cho mặt cầu SIR ; và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó :
 + IH R : không cắt mặt + IH R : tiếp xúc với mặt cầu. + IH R : cắt mặt cầu tại
 cầu. là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp hai điểm phân biệt.
 điểm. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
 * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I a;; b c .
 Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
 Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I a;; b c và bán kính R .
 (S ) : x a 2 y b 2 z c 2 R2
 * Thuật toán 2: Gọi phương trình (S ) : x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 czd 0
 Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b , c , d . ( a2 b 2 c 2 d 0 )
Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
 a) S có tâm I 2;2; 3 và bán kính R 3.
 b) S có tâm I 1;2;0 và (S) qua P 2; 2;1 .
 c) S có đường kính AB với AB 1;3;1 , 2;0;1 .
Bài giải:
a) Mặt cầu tâm I 2;2; 3 và bán kính R 3, có phương trình:
 (S): x 2 2 y 2 2 z 3 2 9
  
b) Ta có: IP 1; 4;1 IP 3 2 .
Mặt cầu tâm I 1;2;0 và bán kính R IP 3 2 , có phương trình:
 (S): x 1 2 y 2 2 z 2 18
  
c) Ta có: AB 3; 3;0 AB 3 2 .
 1 3 
Gọi I là trung điểm AB I ; ;1 .
 2 2 
 1 3 AB 3 2
Mặt cầu tâm I ; ;1 và bán kính R , có phương trình:
 2 2 2 2
 2 2
 1 3 2 9
 (S): x y z 1 .
 2 2 2
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
 a) (S) qua AB 3;1;0 , 5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox .
 b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng : 16x 15 y 12 z 75 0 .
 x 1 y 1 z
 c) (S) có tâm I 1;2;0 và có một tiếp tuyến là đường thẳng :. 
 1 1 3
Bài giải:
   
a) Gọi I a;0;0 Ox . Ta có : IA 3 a ;1;0, IB 5 a ;5;0 .
 2 2
Do (S) đi qua A, B IA IB 3 a 1 5 a 25 4 a 40 a 10 x t
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : y 1 và (S) tiếp xúc với hai mặt
 z t
phẳng : x 2 y 2 z 3 0 và  : x 2 y 2 z 7 0 .
Bài giải:
Gọi I t; 1; t là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
 1 t 5 t 1 t 5 t
Theo giả thiết: d I, d I ,  t 3.
 3 3 1 t t 5
 2 2 2 2 4
Suy ra: I 3; 1; 3 và RI d , . Vậy (S) : x 3 y 1 z 3 .
 3 9
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm AB 2;6;0 , 4;0;8 và có tâm thuộc d:
x 1 y z 5
 .
 1 2 1
Bài giải:
 x 1 t
Ta có d: y 2 t . Gọi I 1 t ;2 t ; 5 t d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
 z 5 t
   
Ta có: IA 1 t ;6 2 t ;5 t , IB 3 t ; 2 t ;13 t .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI
 1t 2 6 2 t 2 5 t 2 3 t 2 4 t2 13 t 2
 29
 62 32t 178 20 t 12 t 116 t 
 3
 2 2 2
 32 58 44 32 58 44 
 I ;; và R IA 2 233 . Vậy (S): x y z 932 .
 3 3 3 3 3 3 
 x 1 y 1 z
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 và cắt đường thẳng : tại hai
 1 4 1
điểm A, B với AB 16.
Bài giải:
  
Chọn M 1;1;0 IM 3; 2;1 . Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1; 4;1 .
  
 IM, u 
  
Ta có: IM, u 2;4;14 d, I 23 .
 u 
 2
 2 AB
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : RI d , 2 19.
 4
 2 2 2
Vậy (S): x 2 y 3 z 1 76 .  
   u, IP 20
Ta có: IP 0; 1; 2 u , IP 0; 4; 2 . Suy ra: d I ; d .
 u 3
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I
 1 1 1 2 40
 R 2 IH 2d I , d 
 IH2 IA 2 IB 2 R 2 3
 2 2 40
Vậy (S) : x 1 y2 z 3 .
 9
Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2 y 2 z 2 4 x 4 y 4 z 0 và điểm A 4;4;0 . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải :
(S) có tâm I 2;2;2 , bán kính R 2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
 OA 4 2
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R/ .
 3 3
 2 2
Khoảng cách : d I; P R2 R / .
 3
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax by cz 0 a2 b 2 c 2 0 * 
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a 4 b 0 b a .
 2 a b c 2c 2 c 2
Lúc đó: d IP ; 
 a2 b 2 c 22 a 2 c 2 2 a 2 c 2 3
 2 2 2 c a
 2a c 3 c . Theo (*), suy ra P : x y z 0 hoặc x y z 0.
 c 1
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
 Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
 Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
 Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
 2
 2 
 Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): r R d I ; P 
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S ) : x2 y 2 z 2 2 x 3 0 cắt mặt phẳng (P): x 2 0 theo giao
tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải :
* Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;0 và bán kính R 2 .
Ta có : d IPR , 1 2 mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)
* Đường thẳng d qua I 1;0;0 và vuông góc với (P) nên nhận nP 1;0;0 làm 1 vectơ chỉ phương, có
 x 1 t
phương trình d: y 0 .
 z 0