Chuyên đề Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ - Hình học 12

 Hình Học 12 | 
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ 
I. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP 
 A LÝ THUYẾT. 
1. Nhắc lại trục đường tròn – tính chất 
- Định nghĩa về trục của đường tròn 
-Cho đường tròn C tâm O nằm trong mặt phẳng . Đường thẳng qua và vuông góc với 
 là trục của đường tròn . 
- Tính chất : Mọi điểm nằm trên trục thì cách đều các điểm nằm trên đường tròn . 
2. Điều kiện cần và đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp 
- Điều kiện để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là : đa giác đáy của hình chóp phải là một đa 
giác nội tiếp được trong một đường tròn. 
3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
- Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp về cơ bản ta phải tìm một điểm cách đều 
các đỉnh của hình chóp, nên ta thực hiện theo 2 bước cơ bản 
Bước 1 : Tìm trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp. 
Bước 2 : Dựng mặt phẳng trung trực P của một cạnh bên. Mặt phẳng cắt trục tại I . 
chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
 B HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 = 
 DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY 
 1. Phương pháp: Cho hình chóp SAAAA.1 2 3 ... n . Có cạnh bên SA1 A 1 A 2 A 3... An và đáy 
 AAAA1 2 3... n nội tiếp được trong đường tròn tâm O . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 
 chóp được xác định như sau: 
 Từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với 
 mp A1 A 2 A 3... An tại . Trong mp d; SA1 , ta dựng đường trung trực của cạnh 
 SA1 , cắt SA1 tại M , cắt d tại I . 
 Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính 
 R IA12 IA ..... IAn IS . 
 1 Hình Học 12 | 
Từ O dựng đường thẳng d// SA , suy ra: d ABC . Dựng đường thẳng trung trực của đoạn SA 
cắt SA tại N và cắt d tại I . Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là: 
R IA NA22 AO 5 a 22 5 a 5 a 2 . 
 Câu 2 
 [Mức độ 2 ] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh vuông góc 
 với mặt phẳng đáy, , , . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
 Lời giải 
Cách 1: 
Gọi H là trung điểm AC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 
Qua H dựng đường thẳng // SA là trục đường tròn ngoại tiếp ABC . 
Trong SAC , dựng đường trung trực d của SA . Cho d cắt tại I . 
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . 
 R IA IS IC I là trung điểm SC . 
 SC
 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC có bán kính R . 
 2
Ta có: 
 ABC vuông tại B AC AB2 BC 2 6 2 8 2 10 . 
 SAC vuông tại A SC SA2 AC 2 10 2 10 2 10 2 . 
 SC
Vậy R 52. 
 2
Cách 2: 
 BC SA SA ABC 
Ta có: 
 BC AB gt 
 BC  SAB BC  SB SBC 90  
Mặt khác, SAC vuông tại A (do SA ABC ) SAC 90  . 
 2 điểm A và B cùng nhìn cạnh SC dưới một góc vuông. 
 3 Hình Học 12 | 
 S
 a
 N
 b
 I
 A B
 M
 C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SA . Do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
Gọi a là đường thẳng qua M và song song với SA mà SA () ABC nên a () ABC . Do đó a là 
trục đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
Trong mặt phẳng ()SAM , gọi b là đường trung trực của đoạn thẳng , gọi I là giao điểm của a 
và b . 
Ta có Ia suy ra IA IB IC . Mặt khác, Ib suy ra IA IS . 
Do đó IA IB IC IS hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . 
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 
 AS2 BC 2 AS 2 AB 2 AC 2 5 4 16 5
R IA AN22 AM . 
 4 4 4 4 2
 Câu 5 
 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , cạnh bên vuông 
 góc với mặt phẳng đáy, góc giữa và mặt phẳng đáy là . Tính diện tích mặt cầu ngoại 
 tiếp hình chóp. 
 Lời giải 
Gọi OI, lần lượt là trung điểm của AC, SC . Ta có: IO// SA  IO ABCD . 
 5 Hình Học 12 | 
 BC AB 0
Ta có:  BC  SB SBC 90
 BC SA  
Mà SAC 900 nên các điểm SABC,,, thuộc mặt cầu đường kính SC . 
Xét tam giác vuông ABC có: AC AB22 BC 7 9 4 . 
 1 1 5
Xét tam giác vuông SAC có: R SC . SA22 AC . 
 2 2 2
 Câu 7
 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông với . 
 Lời giải 
Trong OBC kẻ đường cao OH . Vì OBC là tam giác vuông cân nên H là tâm đường tròn 
 a 2
ngoại tiếp và OH . 
 2
Qua H dựng đường thẳng d song song với OA d OBC . Do đó, là trục đường tròn của 
 . 
Trong mp OA, d , dựng đường trung trực OA cắt OA , lần lượt tai N ,I. Khi đó I là tâm mặt 
cầu ngoại tiếp tứ diện O. ABC . 
 a 2
Theo cách dựng ta có tứ giác OHIN là hình chữ nhật nên NI OH . 
 2
 2 2 2
 2 2 OA 2 a a23 a
 R OI ON IN OH
 Bán kính . 
 2 2 2 2
Chú ý: Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông O. ABC là 
 OA2 OB 2 OC 2
 R 
 2
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI 
CHÓP ĐÁY LÀ TAM GIÁC (dùng cho toán trắc nghiệm) 
 7 Hình Học 12 | 
suy ra SA ABC . 
Gọi M là trung điểm AC , vì tam giác ABC vuông cân tại B , nên là tâm đường tròn ngoại 
tiếp 
tam giác , AC AB2 BC 2 4 a 2 4 a 2 2 a 2 . 
Kẻ đường thẳng d đi qua và d ABC , vì SA ABC d/ / SA , d  SAC . 
d SC O, suy ra O là trung điểm SC OS OC OA OB R . 
 SC SA22 AC4 a
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: Ra 2. 
 2 2 2
Cách 2: (Theo công thức tính nhanh) 
 ha22
Vì SA ABC d a 2 . 
 22
Gọi là trung điểm , vì tam giác vuông cân tại , nên là tâm đường tròn ngoại 
tiếp 
 AC
tam giác , ACABBC 2 2 4 aa 2 4 2 2 a 2 r a 2 . 
 2
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: R r2 d 2 2 a 2 2 a 2 2 a . 
 Câu 9 
 Cho hình chóp , đáy là hình chữ nhật với . Hai mặt phẳng 
 và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy 
 một góc . Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . 
 Lời giải 
AC BD I SAC  SBD SI . Vì hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với 
 ABCD  SI ABCD , SB; ABCD SBI 450 . 
 9 Hình Học 12 | 
 SA a 2
 OI MA . 
 22
 a 7
Trong tam giác vuông OIA, OA OI22 AI R . 
 2
Cách 2: 
Ta có SAC vuông tại A (1). 
Lại có BC BA, BC  SA BC  SB nên SBC vuông tại B (2). 
Và CD DA, CD  SA CD  SD nên SCD vuông tại D (3). 
Từ (1),(2),(3) ta có ABD,, nhìn SC một góc không đổi bằng 90 nên S. ABCD nội tiếp mặt cầu 
đường kính SC . 
 SC SA22 AC a 7
Vậy R . 
 2 2 2
 2
 SA 2
Cách 3: (Theo công thức tính nhanh) RR đ với Rđ bán kính đường tròn ngoại tiếp 
 2
mặt đáy khối chóp. 
 22
 AC a 5 a2 a 5 a 7
Ta có R . Lúc đó R . 
 đ 
 22 2 2 2
 DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY 
1. Phương pháp: 
+ Tìm tâm và dựng trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. 
+ Tìm tâm và dựng trục của đường tròn ngoại tiếp mặt mặt bên (mặt vuông góc với đáy). 
+ Giao điểm I của hai trục và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, bán kính R IS . 
2. Công thức tính nhanh: Hình chóp S. ABCD có mặt bên SAB  () ABCD , gọi Rđ , Rb lần lượt 
là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD và tam giác SAB . Khi đó hình chóp này nội tiếp 
 AB2
trong 1 mặt cầu có bán kính RRR 22 . 
 đ b 4
3.Ví dụ: 
 Câu 1 
 [Mức độ 2] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Tam giác nằm trong 
 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết rằng và . 
 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 
 11