Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12
![Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12 Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12](https://s1.chuyende.com/bwzv8giztz8ucbr5/thumb/2024/07/13/chuyen-de-mat-cau-hinh-hoc-12_Qb7EEV6E1f.jpg)
Hình học lớp 12 | HÌNH HỌC 12. CHƯƠNG II. NÓN TRỤ CẦU PHẦN V: Mặt cầu I LÝ THUYẾT. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng không đổi bằng rr 0 được gọi là mặt cầu tâm bán kính r . Kí hiệu S O, r Diện tích mặt cầu Sr 4 2 4 Thể tích mặt cầu Vr 3 3 II VÍ DỤ. = Ví dụ 1 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . Biết rằng , tam giác vuông cân tại có diện tích bằng . Lời giải S E A C B Có: SA ABC SA AC SAC SBC 90 SABC,,, nằm trên mặt cầu tâm E , đường kính SC với E là trung điểm đoạn SC . 1 Từ giả thiết suy ra S SB2 SB 2 a . SBC 2 Có SC SB. 2 2 a 2 . SC Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC là: Ra 2 . 2 1 | Hình học lớp 12 | S E F A C I B Gọi I là trung điểm AC . I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do SA SB SC a 3 hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SI ABC và SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp SAC (1) F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . Thật vậy: Từ (1) FA FC FS (1). Lại có F SI FA FB FC (2). Từ (1) và (2) FS FA FB FC . Xét SIA có SI SA22 IA 3aa22 a 2 . SF SE SE. SA SA2 Ta có: SEF SIA SF . SA SI SI 2SI SA2 3a2 32a Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là: R SF 2SI 2.a 2 4 . Ví dụ 4 Cho hình chóp có tứ giác là hình chữ nhật , . Gọi là giao điểm của và , . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Lời giải 3 | Hình học lớp 12 | S A D E B C Kẻ AE BD E BD khi đó SBD ; ABCD SEA 60 . AB.2 AD a 23a AE ; SA AE.tan SEA AE .tan 60 . AB22 AD 5 5 Ta chứng minh được các đỉnh ABD,, cùng nhìn SC dưới một góc 90 nên mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABCD có đường kính là , bán kính là 12a2 5a2 SC SA22 AC 5 37a R . 22 2 25 Ví dụ 6 (Ngô Quyền – Hải Phòng – Lần 2) Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, , , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Lời giải S G B O C A D Ta có ABCD là nửa lục giác đều cạnh 2, gọi O là trung điểm của AB thì là tâm của lục giác đều đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB thì G cách đều các đỉnh SAB,, . 5 | Hình học lớp 12 | S N M C A B Theo định lí hàm số cosin trong tam giác ABC ta có BC2 AB 2 AC 2 2 AB . AC .cos A 1 2 2 2 2.1.2.cos60 3 BC 3. Khi đó AC2 AB 2 BC 2 suy ra tam giác ABC vuông tại B . Suy ra BC BA mà BC SA nên BC SAB . AM BC , lại có AM SB AM SBC AM MC . Vậy ta có các đỉnh BMN,, cùng nhìn hai đỉnh AC, dưới góc 90. Suy ra AC là đường kính của mặt cầu đi qua các điểm ABCMN,,,, . AC Bán kính cần tìm R 1. 2 Ví dụ 9 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Lời giải Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy. Khi đó SAH SBH SCH 60 . Nên các tam giác vuông SHA , SHB , SHC bằng nhau nên suy ra HA HB HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . 7 | Hình học lớp 12 | R Trong tam giác vuông OHA ta có h OH Rcos60 . 2 Ví dụ 11 Cho mặt cầu tâm , bán kính . Mặt phẳng cách một khoảng bằng và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm . Gọi là giao điểm của tia với mặt cầu . Tính thể tích lớn nhất của khối nón có đỉnh và đáy là hình tròn . Lời giải 22 Khối nón có chiều cao h1 TH R h và bán kính đáy là r R h . 12 1 2 2 1 Thể tích của khối nó là Vh rh1 RhRh 22 RhRhRh . 3 3 6 3 1 2R 2 h R h R h 32 3 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có V h R . 6 3 81 R Dấu bằng xảy ra khi 22R h R h h . 3 32 Vậy thể tích lớn nhất của khối nón là VR 3 . max 81 Ví dụ 12 Cho tứ diện . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức ( là số thực dương cho trước) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. Lời giải 9 | Hình học lớp 12 | Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC'' chính bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng ABC và ABC nên bằng AA 2 a . Gọi MM, lần lượt là trung điểm các cạnh AC, A C . Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ chính là trung điểm đoạn thẳng MM . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tìm là 2 2 2 2 a 26 R AO OM MA a a . 22 Ví dụ 14 Cho mặt cầu có tâm , bán kính tiếp xúc với ba cạnh của tam giác và , . Tính thể tích của khối tứ diện . Lời giải Tam giác ABC có AB 3, AC4, BC 5 là tam giác vuông tại A . Gọi M , N , P lần lượt là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB , BC, AC . Do OM ON OP 2nên hình chiếu H của O trên mặt đáy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 11 Ta có S AB. AC .3.4 6 . ABC 22 S 6 Mặt khác S pr r 1 HM 1. ABC p 6 OH OM2 MH 2 2 2 1 2 3 Vậy thể tích khối tứ diện OABC là 11 V S. OH .6 3 2 3. 33ABC 11 |
File đính kèm:
chuyen_de_mat_cau_hinh_hoc_12.pdf