Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12

pdf 12 trang thanh nguyễn 22/12/2024 40
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12

Chuyên đề Mặt cầu - Hình học 12
 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. CHƯƠNG II. 
 NÓN TRỤ CẦU 
PHẦN V: Mặt cầu 
 I LÝ THUYẾT. 
Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng không đổi bằng 
rr 0 được gọi là mặt cầu tâm bán kính r . Kí hiệu S O, r 
Diện tích mặt cầu Sr 4 2 
 4
Thể tích mặt cầu Vr 3 
 3
 II VÍ DỤ. 
 = 
 Ví dụ 1 
 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . Biết rằng , tam giác vuông 
 cân tại có diện tích bằng . 
 Lời giải 
 S
 E
 A C
 B
 Có: SA ABC SA AC SAC SBC 90  
 SABC,,, nằm trên mặt cầu tâm E , đường kính SC với E là trung điểm đoạn SC . 
 1
 Từ giả thiết suy ra S SB2 SB 2 a . 
 SBC 2
 Có SC SB. 2 2 a 2 . 
 SC
 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC là: Ra 2 . 
 2
 1 | Hình học lớp 12 | 
 S
 E
 F
 A C
 I
 B 
 Gọi I là trung điểm AC . 
 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 Do SA SB SC a 3 hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC là tâm đường 
 tròn ngoại tiếp tam giác ABC SI ABC và SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác ABC . 
 Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp SAC (1) F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
 S. ABC . 
 Thật vậy: 
 Từ (1) FA FC FS (1). 
 Lại có F SI FA FB FC (2). 
 Từ (1) và (2) FS FA FB FC . 
 Xét SIA có SI SA22 IA 3aa22 a 2 . 
 SF SE SE. SA SA2
 Ta có: SEF SIA SF . 
 SA SI SI 2SI
 SA2 3a2 32a
 Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là: R SF 
 2SI 2.a 2 4
 . 
 Ví dụ 4 
Cho hình chóp có tứ giác là hình chữ nhật , . Gọi là giao 
điểm của và , . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 
 Lời giải 
 3 | Hình học lớp 12 | 
 S
 A D
 E
 B C
 Kẻ AE BD E BD khi đó SBD ; ABCD SEA 60  . 
 AB.2 AD a 23a
 AE ; SA AE.tan SEA AE .tan 60  . 
 AB22 AD 5 5
 Ta chứng minh được các đỉnh ABD,, cùng nhìn SC dưới một góc 90 nên mặt cầu ngoại 
 tiếp khối chóp S. ABCD có đường kính là , bán kính là 
 12a2
 5a2
 SC SA22 AC 5 37a
 R . 
 22 2 25
 Ví dụ 6 
(Ngô Quyền – Hải Phòng – Lần 2) Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, 
 , , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc 
với mặt phẳng đáy. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 
 Lời giải 
 S
 G B
 O C
 A
 D
 Ta có ABCD là nửa lục giác đều cạnh 2, gọi O là trung điểm của AB thì là tâm của lục 
 giác đều đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB thì G cách đều các đỉnh SAB,, . 
 5 | Hình học lớp 12 | 
 S
 N
 M
 C
 A
 B
 Theo định lí hàm số cosin trong tam giác ABC ta có 
 BC2 AB 2 AC 2 2 AB . AC .cos A 1 2 2 2 2.1.2.cos60  3 BC 3. 
 Khi đó AC2 AB 2 BC 2 suy ra tam giác ABC vuông tại B . 
 Suy ra BC BA mà BC SA nên BC SAB . 
 AM BC , lại có AM SB AM  SBC AM  MC . 
 Vậy ta có các đỉnh BMN,, cùng nhìn hai đỉnh AC, dưới góc 90. 
 Suy ra AC là đường kính của mặt cầu đi qua các điểm ABCMN,,,, . 
 AC
 Bán kính cần tìm R 1. 
 2
 Ví dụ 9 
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , các cạnh bên cùng tạo với đáy 
một góc . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 
 Lời giải 
 Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy. 
 Khi đó SAH SBH SCH 60 . 
 Nên các tam giác vuông SHA , SHB , SHC bằng nhau nên suy ra HA HB HC hay H 
 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 Do tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . 
 7 | Hình học lớp 12 | 
 R
Trong tam giác vuông OHA ta có h OH Rcos60 . 
 2
 Ví dụ 11 
 Cho mặt cầu tâm , bán kính . Mặt phẳng cách một khoảng bằng và cắt 
 mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm . Gọi là giao điểm của tia với 
 mặt cầu . Tính thể tích lớn nhất của khối nón có đỉnh và đáy là hình tròn . 
 Lời giải 
 22
Khối nón có chiều cao h1 TH R h và bán kính đáy là r R h . 
 12 1 2 2 1
Thể tích của khối nó là Vh rh1 RhRh 22 RhRhRh . 
 3 3 6
 3
 1 2R 2 h R h R h 32 3
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có V h R . 
 6 3 81
 R
Dấu bằng xảy ra khi 22R h R h h . 
 3
 32
Vậy thể tích lớn nhất của khối nón là VR 3 . 
 max 81
 Ví dụ 12 
 Cho tứ diện . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức 
 ( là số thực dương cho trước) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính 
 bán kính của mặt cầu đó. 
 Lời giải 
 9 | Hình học lớp 12 | 
 Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC'' chính bằng khoảng cách 
 giữa hai mặt phẳng ABC và ABC nên bằng AA 2 a . 
 Gọi MM, lần lượt là trung điểm các cạnh AC, A C . Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình 
 lăng trụ chính là trung điểm đoạn thẳng MM . 
 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tìm là 
 2
 2 2 2 a 26
 R AO OM MA a a . 
 22
 Ví dụ 14 
Cho mặt cầu có tâm , bán kính tiếp xúc với ba cạnh của tam giác và 
, . Tính thể tích của khối tứ diện . 
 Lời giải 
 Tam giác ABC có AB 3, AC4, BC 5 là tam giác vuông tại A . 
 Gọi M , N , P lần lượt là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB , BC, AC . 
 Do OM ON OP 2nên hình chiếu H của O trên mặt đáy là tâm đường tròn nội tiếp 
 tam giác ABC . 
 11
 Ta có S AB. AC .3.4 6 . 
 ABC 22
 S 6
 Mặt khác S pr r 1 HM 1. 
 ABC p 6
 OH OM2 MH 2 2 2 1 2 3 
 Vậy thể tích khối tứ diện OABC là 
 11
 V S. OH .6 3 2 3. 
 33ABC
 11 | 

File đính kèm:

  • pdfchuyen_de_mat_cau_hinh_hoc_12.pdf