Chuyên đề Lý thuyết và các phép toán cộng trừ nhân chia số phức - Đại số 12

 4 SỐ PHỨC 
 CHƯƠNG
 BÀI 1. SỐ PHỨC 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 Số ph=ức bất kì z a;b được biểu diễn duy nhất dạng z a bi , a;b , trong đó i12 
 =
 Hệ thức i12 , được suy từ định nghĩa phép nhân: i2 i.i 0;1 . 0;1 1;0 1 . 
 I 
 Biểu diễn a bi gọi là dạng đại số của số phức z a;b . Do đó:
 a bi a ,b ,i2 1 . 
 a Re z : phần thực của z , b Im z : phần ảo của z . Đơn vị ảo là i . 
 Số phức bất kì được biểu diễn duy nhất dạng z a bi , a;b , trong đó 
 Lũy thừa đơn vị ảo i : 
 0 1 2
 i1 , ii , i1 , i32 i .i i , bằng quy nạp ta được: 
 Lưu ý : i14n , ii4n 1 , i14n 2 , ii4n 3 ,  n Do đó: in 1;1; i;i ,  n 
 Số phức liên hợp: 
 Cho , số phức z a bi gọi là số phức liên hợp của z 
 z z z . 
 Số phức liên hợp: Số phức z a bi có số phức liên hợp là z a bi . 
 Mô đun số phức: z a22 b 
 Biểu diễn hình học của số phức: Điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ là 
 M a; b . 
 Gọi M z , M12 z , M z . Khi đó: M1 đối xứng với M qua Ox ; M2 đối xứng với M qua 
 O . 
 Gọi u, v lần lượt là biểu diễn của hai số phức z12 , z . Khi đó: uv là biểu diễn của 
 zz12 . 
1 | 
 2x 3 y 1 x 2 y i 3 x 2 y 2 4 x y 3 i
 9
 x 
 2x 3 y 1 3 x 2 y 2 x 5 y 1 11 
 x 2 y 4 x y 3 5 x 3 y 3 4
 y 
 11
 94
 Vậy xy;; 
 11 11
 Ví dụ 5 
[Mức độ 2] Cho hai số thực xy, thỏa mãn 2x 1 1 2 y i 2 2 i yi x khi đó giá trị của 
 x2 3 xy y là bao nhiêu? 
 Lời giải 
 2x 1 1 2 y i 2 2 i yi x
 2x 1 1 2 y i 4 x y 2 i
 2xx 1 4 
 xy 1
 1 2yy 2
 2
 x 33 xy y 
 DẠNG 2: MÔ ĐUN SỐ PHỨC 
 Ví dụ 1 
[Mức độ 3] Cho z x 2 x 3 yi 3 i y 3 i i với xy, là các số thực. Tìm sao cho z 
 là thuần ảo và z 4. 
 Lời giải 
 Ta có z 2 x2 3 x 1 x 1 y 3 i . 
 2 1
 2xx 3 1 0 x 
 là thuần ảo 2 
 xy 1 3 0
 y 3
 11
 Khi đó: z y 33 i z y 
 22
 z 4 y 3 8 y 11; y 5 . 
 1 1
 x x 
 Vậy 2 hoặc 2 là những cặp cần tìm . 
 y 11 y 3
3 | 
 Ta có z2 2 z 5 z 1 2 4 z 1 2 2 i 2 z 1 2 i z 1 2 i . 
 Khi đó, giả thiết 
 zi 12
 z1 2 i z 1 2 i z 1 2 i z 3 i 1 
 z 1 2 i z 3 i 1
 TH1. Với zi 12, ta có w z2 2 i 1 2 i 2 2 i 1 w 1. 
 TH2. Với z 1 2 i z 3 i 1 , đặt z x yi x, y , ta có 
 2 2 2 2 1
 xyixyix1 2 1 3 1 y 2 x 1 y 3 y .
 2
 1 32 9 3
 Do đó w z2 2 i x i 2 2 i x 2 i w x 2 . 
 2 2 4 2
 Dấu xảy ra x 2. 
 3
 Vậy giá trị nhỏ nhất của ||w bằng . 
 2
 Ví dụ 5 
 z z z 1
 1 2 3
 2
Mức độ 4] Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z 2. z 3 . 
 62 
 zz 
 12 2
Tính giá trị của biểu thức T z2 z 3 z 3 z 1 . 
 Lờigiải 
 Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục tọa độ của các số phức z1 , z2
 , z3 . 
 Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn O;1 . 
5 | 
 DẠNG 3: SỐ PHỨC LIÊN HỢP 
 Ví dụ 7 
[Mức độ 2] Tìm số phức z thỏa mãn z (2 i ) z 3 5 i . 
 Lời giải 
 Gọi z a bi a; b , theo đề bài ta có: 
 a bi (2 i ) a bi 3 5 i 
 a bi 2 a b ai 2 bi 3 5 i 
 3a b ai bi 3 5 i 
 3a b 3 a 2
 . 
 a b 53 b 
 Vậy zi 23. 
 Ví dụ 8 
[Mức độ 4] Cho , là hai số phức liên hợp thoả mãn và  23. Tính . 
  2
 Lời giải 
 Đặt  x yi x yi với xy, . 
 Vì nên 2iy 2 3 y 3. 
 3
 Do là hai số phức liên hợp nên . , mà do đó 3 . 
  22 . 
 Nhưng ta có 3 x 3 33 xy 2 x 2 y y 3 i nên khi và chỉ khi 
 3x2 y y 3 0 y 3 x 2 y 2 0 x 2 1. 
 Vậy xy22 1 3 2. 
 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ 
 4 PHỨC
 CHƯƠNG
7 | 
 1 3 1 3 2
 Ta có z i z2 i z và zz2 , zz 1, zz z 1. 
 2 2 2 2
 Khi đó 
 a bz cz22 a bz cz a bz cz a bz cz 
 2
 a2 abz acz abz b 2 zz bcz 2 acz bcz c 2 zz 
 a2 b 2 c 2 ab ac bc.
 Ví dụ 10 
[Mức độ 2] Tìm số phức z biết z 3 z 3 2 i 2 2 i 
 Lời giải 
Giả sử: z a bi,; a b ta có 
 Ta có phương trình abiabi 33 9124 ii2 2 i 42 abi 2219 i
 11
 a 
 2 11 19
 zi 
 19 22
 b 
 2
 Ví dụ 11 
[Mức độ 3] Tìm số phức z biết: 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2 i 
 Lời giải 
 Giả sử: ta có 
 Ta có phương trình
 2211abi iabi 11 i 2233 iababi 222 i 
 1
 a 
 3ab 3 2 3
 ab 2 2 1
 b 
 3
 1 1 1 1
 z i z i
 3 3 3 3 
 Ví dụ 12 
 3
[Mức độ 4] Tìm số phức z có phần thực và phần ảo nguyên sao cho: zi 18 26 . 
 Lời giải 
 Giả sử: ta có 
 3
 Ta có phương trình abi 26 18 ia 3 3 abiabibi 2 3 2 2 3 3 18 26 i
9 | 
 Ai 2 2019 2020 2 2020 2 2019 2 2020 22019
 4 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 
 CHƯƠNG
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 Cho =số phức: 
 = 1 a b
 zi 1 
 I z a2 b 2 a 2 b 2
 Cho hai số phức: và z' c di 
 z' c di ac bd ad bc
 2 2 2 2 i.
 z a bi a b a b 
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 = DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRỰC TIẾP 
 =I 
 Ví dụ 6 
 3 2ii 1
[Mức độ 2] Tính số phức z 
 1 ii 3 2
 Lời giải 
 3 2ii 1z a 3 bi 2i 1 i 1 i 3 2 i 55 11
 Cách 1: zi 
 1 i 32 i 1 i 1 i 3232 i i 2626
 Cách 2: Bấm máy: 
 Ví dụ 7 
 zi 
[Mức độ 2] Cho số phức z x yi xy, . Tính số phức  
 iz 2
 Lời giải 
11 |