Chuyên đề Luyện thi đại học - Chủ đề. Hình học giải tích trong không gian

 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 CHUYÊN ĐỀ 
 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 
 BÀI 1: MỞ ĐẦU 
I. VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép tốn
 • Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương tự như trong mặt
 phẳng.
 • Lưu ý:
   
+ Qui tắc Ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: AB+ BC = AC
   
+ Qui tắc hình Bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: AB+ AD = AC
    
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta cĩ: AB+ AD + AA'' = AC
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
      
 Ta cĩ: IA+ IB = 0 ; OA+ OB = 2 OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.
        
 Ta cĩ: GA+ GB + GC = 0; OA+ OB + OC = 3 OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
          
 Ta cĩ: GA+ GB + GC + GD = 0; OA+ OB + OC + OD = 4 OG
      
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương( a≠ 0) ⇔ ∃ ! k ∈ R : b = ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý.
  
   
 OA− kOB
 Ta cĩ: MA= kMB; OM =
 1− k
2. Sự đồng phẳng của Ba vectơ
 • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
      
• Điều kiện để Ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,, b c , trong đĩ a và b khơng cùng phương. Khi đĩ: a,, b c
   
 đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c= ma + nb
   
 • Cho ba vectơ a,, b c khơng đồng phẳng, x tuỳ ý.
   
 Khi đĩ: ∃! m, n, p ∈ R: x= ma + nb + pc
3. Tích vơ hướng của hai vectơ
 • Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:
  
     
 AB= uAC, = v ⇒( uv , ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 )
 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 
a) Định nghĩa: M(;;)(;;) x y z⇔ OM = x y z (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) 
Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
 ••• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
 B) Tính chất: Cho A( xAAABBB ; y ; z ), B ( x ; y ; z ) 
 
 • • 2 2 2
 AB=(;;) xBABABA − x y − y z − z AB=()()() xBABABA − x + y − y + z − z
 x− kx y − ky z − kz 
 •  ABABAB 
 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M  ;;  
  1−k 1 − k 1 − k 
 x+ x y + y z + z 
 •  ABABAB 
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  ;;  
  2 2 2 
 • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 x+ x + x y + y + y z + z + z 
  ABCABCABC 
 G  ; ;  
  3 3 3 
 • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
 xxxxyyyyzzzz+ + + + + + + + + 
  ABCDABCDABCC 
 G  ; ;  
  4 4 4 
4. Tích cĩ hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
  
 a) Định nghĩa: Cho a= (,,) a1 a 2 a 3 , b= (,,) b1 b 2 b 3 . 
  
    a a a a a a 
 a, b  = a ∧ b = 2 3;; 3 1 1 2  =ab − abab;; − abab − ab
    b b b b b b  ( 23 3231 1312 21)
  2 3 3 1 1 2 
Chú ý: Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số. 
B) Tính chất:
             
 •       •
 i,;,;, j  = k j k  = i k i  = j [,];[,]a b⊥ a a b⊥ b
          
 • [a , b ]= a . b .sin( a , b ) • a, b cùng phương ⇔[a , b ] = 0
 c) Ứng dụng của tích cĩ hướng:
      
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng ⇔ [a , b ]. c = 0
  
 •  
Diện tích hình bình hành ABCD: S▱ABCD =  AB, AD 
  
 1  
 • Diện tích tam giác ABC: S = AB, AC 
 ∆ABC 2  
   
 • ′′′ ′′′ ′′′ ′′′
 Thể tích khối hộp ABCD.A B C D : VABCD.'''' A B C D = [AB , AD ]. AA '
 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 
 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
  
    
 a=(2;1;0) , b =−( 1; 1;2) , c =−( 2;2; 1 ) a=−(1; 7;9) , b =−( 3; 6;1) , c =(2 ;1; − 7 )
 a)  b)  
 u =(3;7; − 7) u =( − 4;13; − 6)
  
   
HT 5. Chứng tỏ bốn vectơ a, b , c , d đồng phẳng: 
   
 a) a=−−( 2; 6;1) , b =−−( 4; 3; 2) , c =−−( 4; 2;2) , d =−− ( 2; 11;1) 
   
 b) a=−(2;6; 1) , b =−=−( 2;1; 1) , c( 4;3;2) , d = (2;11; − 1) 
   
HT 6. Cho ba vectơ a, b , c khơng đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau khơng đồng phẳng: 
        
 a) b, c , d= ma + nb (với m, n ≠ 0) b) acd, , = ma + nb (với m, n ≠ 0) 
HT 7. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M: 
 • Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz 
 a) M(1;2;3) b) M(3;− 1;2) c) M(− 1;1; − 3) d) M(1;2;− 1) 
HT 8. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M ′ đối xứng với điểm M: 
 • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy 
 a) M(1;2;3) b) M(3;− 1;2) c) M(− 1;1; − 3) d) M(1;2;− 1) 
HT 9. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: 
 a) A(1;3;1), B (0;1;2), C (0;0;1) b) A(1;1;1), B (− 4;3;1), C ( − 9;5;1) 
HT 10. Cho ba điểm A, B, C. 
 • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. 
 • Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. 
 • Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
 a) A(1;2;− 3), B (0;3;7), C (12;5;0) b) A(0;13;21), B (11;− 23;17), C (1;0;19) 
 c) A(3;− 4;7), B ( −− 5;3; 2), C (1;2; − 3) d) A(4;2;3), B (− 2;1; − 1), C (3;8;7) 
HT 11. Trên trục Oy (Ox) , tìm điểm cách đều hai điểm: 
 a) A(3;1;0) , B(− 2;4;1) b) A(1;− 2;1), B (11;0;7) c) A(4;1;4), B (0;7;− 4) 
HT 12. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz) , tìm điểm cách đều ba điểm: 
 a) A(1;1;1), B (− 1;1;0), C (3;1; − 1) b) A(− 3;2;4), B (0;0;7), C ( − 5;3;3) 
HT 13. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. 
 • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M. 
 a) A(2;− 1;7) , B ( 4;5; − 2 ) b) A(4;3;− 2), B (2; − 1;1) c) A(10;9;12), B (− 20;3;4) 
HT 14. Cho bốn điểm A, B, C, D. 
 • Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
 • Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. 
 • Tính gĩc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
 • Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 
 • Tính diện tích tam giác BCD, từ đĩ suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. 
 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5