Chuyên đề Lũy thừa của một số hữu tỉ Toán Lớp 7

 CHỦ ĐỀ 3: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Trong bài này học sinh cần nắm được: 
1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên: 
Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ, kí hiệu xn , là tích của n thừa số x ( n là số tự nhiên lớn hơn 
1): 
 xn = x. x . x ... x ( x , n , n 1) 
 n
Trong đó: x : cơ số; n : số mũ 
Quy ước: x10= x; x = 1 ( x 0) 
 n
 a aan
Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng (a, b Z , b 0) , ta có: = n 
 b bb
2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số: 
 xm. x n= x m+ n
 xm: x n= x m− n ( x 0; m n ) 
3. Lũy thừa của lũy thừa: 
 n
 (xxm) = m. n 
4. Lũy thừa của một tích, thương: 
 ( x.. y)n = xnn y
 n
 xxn
 =n ( y 0) 
 yy
5. Lũy thừa với số mũ nguyên âm: 
 1
 aa−1 = ( 0) 
 a
 1
 a−n = với n là số tự nhiên 
 an
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI 
Dạng 1: Thực hiện phép tính về lũy thừa 
I. Phương pháp giải : Vận dụng định nghĩa và quy tắc phép tính ở trên để giải 
Chú ý: Với a 0 thì: aa2nn 0; 2+ 1 0 (n N) 
 (−1)2nn = 1; ( − 1) 2+ 1 = -1 
II. Bài toán 
Bài 1 - NB. Tính: 
 a) (− 0,5)2 ; b) (− 0,5)3 ;
 0 2
 1 1
 c) − 10 ; d) − 5 . 
 2 3
Lời giải. 
 a) (− 0,5)2 =( − 0,5) .( − 0,5) = 0,25
 3 
 b) (− 0,5) =( − 0,5) .( − 0,5) .( − 0,5) = − 0,125 
 0
 1
 c) −= 10 1
 2
 22 
 1 16 16 16 256
 d) − 5 = − = − . − = 
 3 3 3 3 9
Bài 2 - NB. Hãy tính: 
 Lời giải. 
 4 3
 263 1 2 16 11−
a) (−0,5) =( − 0,5) = b) −= c) −= 
 ( ) 64 3 81 3 27
 22 0
 5 12 144 4 81 3
d) −1 = − = e) (−=0,6) f) −=1 
 7 7 49 625 25
Bài 6 - TH. Hãy viết các số sau đây dưới dạng một lũy thừa với số mũ khác 1 
 1 16
 a) - ; b) ; c) 0,001;
 27 81
 d) -0,001; e) 125; f )− 27. 
Lời giải. 
 3 4 
 11 − 16 2
 a) -= ; b) = ;
 27 3 81 3
 3 3
 c) 0,001 = ( 0,1) ; d)−− 0,001 = ( 0,1) ;
 f ) 125 = 53 ; f )− 27 = ( − 3)3 . 
Bài 7- TH. Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa: 
 a) 6.36.1296; b) 25.5.125; 
 2 4 8 3 9 27
 c) 49.7.343; d) . . ; e) . .
 3 9 27 4 16 64 
Lời giải. 
 2 4 7
 a) 6.36.1296== 6.6 .6 6 
 2 3 6
 b) 25.5.125== 5 .5.5 5 
 2 3 6
 c) 49.7.343== 7 .7.7 7 
 d) 75 .2 5 = ( 7.2)5 = 14 5 ; 
 4
 e) 164 .2 7 = ( 2 4) .2 7 = 2 16 .2 7 = 2 23 ; 
Bài 8- TH. Rút gọn rồi tính 
a) 4522 :9 b) 366 :(− 18)6 c) 753 :(− 25)3 
Lời giải. 
a) 452 :9 2 =( 45:9)2 = 5 2 = 25 
 66666
b) 36 :(− 18) = 36:( − 18) =( − 2) = 2 = 64 
 3 333
c) 75 :(− 25) = 75:( − 25) =( − 3) = − 27 
Bài 9- TH. Rút gọn rồi tính 
 33 55 2018 2018
 28 7 − 14 11 
a) : b) − : c) − : 
 3 27 5 18 77 
Lời giải. 
 3 3 3 3
 2 8 2 8 9 729
a) :: = = = 
 3 27 3 27 4 64
 5 5 5 5
 7 − 14 − 7 − 14 9 59049
b) − :: = = = 
 5 18 5 18 5 3125
 2018 2018 2018
 1 1 − 1 1 2018
c) − : = : =( − 1) = 1 
 7 7 7 7 
Bài 10- TH. Thực hiện phép tính: 53 1
 bB)= ( 4.2) : 2 . 
 16
 2 5 3 1
 B = (2 .2) : 2 . 4 
 2
 1
 B = 2:7 
 2
 B =278 .2 = 2 = 256 
Bài 13- VD: Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 32 −1 0 2
 −1 − 1 − 1 −−1 6 1 
 aA)..= bB)= − + : 2 
 3 3 3 3 7 2 
Lời giải. 
 32
 −1 − 1 − 1 
 aA)..= 
 3 3 3 
 1
 A = 
 729
 −1 0 2
 −−1 6 1 
 bB)= − + : 2 
 3 7 2 
 1
 B = −3 − 1 + : 2 
 4
 1
 B = −4 + 
 8
 −31
 B = 
 8
Bài 14- VD: Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 2
 1 76
 0 
 2 11253 53 17 17 
 aC)=+ ( 0,1) : . 2 : 2 bB)= − 0,5 : − 0,5 − : 
 ( ) ( ) ( ) 
 7 49 22 
Lời giải. 
 1 2
 2 0 11 3
 aC)=+ ( 0,1) : . 225 : 2 
 ( )
 7 49
 11
 C =+1 : .( 265 : 2 ) 
 49 49
 C =1 + 1.2 = 3 
 76
 53 17 17 
 bB)=( − 0,5) :( − 0,5) − : 
 22 
 2 17 1 17 33
 B =( −0,5) − = − = − 
 2 4 2 4
Bài 15- VD: Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 32 3 2 3
 33 0 2 3 2 
 aA)= 1 − 1 +( − 1,031) bB)= − 4. − 1 + − 
 44 3 4 3 
Lời giải. 
 32
 33 0
 aA)= 1 − 1 +( − 1,031) 
 44 
 2
 33 
 A = 1 1 − 1 + 1 
 44 cC)= 122 − +2 − 2 3 + 2 4 − ....2 + 2022 dD)= 133 + +2 + 3 3 + 3 4 + ....3 + 2022 
Lời giải. 
 10
 (−3) .155 310 .3 5 .5 5 3 15 .5 5 − 3
 aA) =77 = =6 14 = 
 253 .(− 9) −562 .( 3 ) −5 .3 5
 230 43
 430 .3 43(2) .3 2 60 .3 43 2 3 8
bB) =57 15 =15 = 57 45 = 3 = 
 2 .27257 .( 3 3 ) 2 .3 3 27
cC)= 122 − +2 − 2 3 + 2 4 − ....2 + 2022 
 2.C = 2 − 22 + 2 3 − 2 4 + 2 5 − .... + 2 2023 
 12+ 2023
Vậy 3.C =+ 1 22023 =C 
 3
 dD)= 133 + +2 + 3 3 + 3 4 + ....3 + 2022 
 3.D = 3 + 32 + 3 3 + 3 4 + .... + 3 2023 
 2.D = 32023 − 1 
 312023 −
 =D
 2 
Dạng 2: Tìm thành phần chưa biết 
I. Phương pháp: 1. Để tìm số hữu tỉ x trong cơ số của một lũy thừa, ta thường biến đổi hai vế 
của đẳng thức về lũy thừa cùng số mũ, rồi sử dụng nhận xét: 
 A2nn++ 1= B 2 1 A = B ( n N * )
 2nn 2 AB= *
 A= B ( n N )
 A = -B
2. Để tìm số x ở số mũ của lũy thừa, ta thường biến đổi hai vế của đẳng thức về lũy thừa cùng 
cơ số, rồi sử dụng nhận xét 
 Anm= A m = n ( m , n Z, A 0, A 1 ) 
II. Bài tập: 
Bài 1 – NB . Tìm số hữu tỉ x , biết rằng: 
 a) 112x− 7= 11 11 b) 22x+ 1= 2 7 
Lời giải. 
 a) 112x− 7= 11 11 
 2x −= 7 11 
 2x = 18 
 x = 9 
b) 22x+ 1= 2 7 
 2x += 1 7 
 x = 3 
Bài 2 – NB . Tìm x , biết: 
 2x− 1 5
 55 2x− 3 9
 a) = b) 2= 2 
 66 
Lời giải. 
 2x− 1 5
 55 
 a) = 
 66 
 2x −= 1 5 
 x = 3 
b) 22x− 3= 2 9 
 2x −= 3 9 10 8 88
 −−55 −−59 
 ax) : = bx) : = 
 99 95 
Lời giải 
 10 8
 −−55 
 ax): = 
 99 
 10 8 2
 −5 − 5 − 5 25
 x = : = = 
 9 9 9 81
 8 8
 −−59 
 b) x : = 
 95 
 8 8
 −−95 
 x =  =1 
 59 
Bài 8 – TH . Tìm số hữu tỉ x , biết: 
 ax) ( 5−= 1)6 729; b) ( 2x + 1)3 =− 0,001;
Lời giải. 
 ax) ( 5−= 1)6 729; 
 (5x − 1)66 = 36 =( − 3)
 5x − 1 = 3 hoặc 5x − 1 = − 3
 4
Với 5x - 1 = 3 x = 
 5
 −2
Với 5x - 1 = -3 x = 
 5
 b) ( 2x + 1)3 =− 0,001; 
 33
 (2x + 1) =−( 0,1) 
 2x + 1 = -0,1
 x = -0,55 
Bài 9 – TH . Tìm số hữu tỉ x , biết: 
 4 3
 ax) ( 2−= 3) 54 . bx) ( 2− 3) = − 64 
Lời giải. 
 ax) ( 2−= 3)4 54 (1)
 2x− 3 = 5 2 x = 5 + 3 x = 4
 2x− 3 = − 5 2 x = − 5 + 3 x = − 1
 b) (2x − 3)3 = − 64 
 (2x − 3)33 = ( − 4) 
 2x − 3 = − 4 
 1
 x =− 
 2
Bài 10 – TH. Tìm xQ , biết rằng: 
 0
 1 2
 ax) −= 0; b) ( x −= 2) 1; 
 2
Lời giải. 
 0
 1 
 ax) −= 0
 2
 1
 x = 
 2