Chuyên đề Lũy thừa của một số hữu tỉ môn Toán 7

 BÀI 5. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên. 
 + Nắm được các quy tắc phép tính (công thức) lũy thừa. 
 + Mở rộng định nghĩa với lũy thừa nguyên âm và một số tính chất được thừa nhận. 
  Kĩ năng 
 + Tính được lũy thừa với các số hữu tỉ cụ thể với số mũ tự nhiên. 
 + Vận dụng công thức các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức. 
 + Vận dụng định nghĩa và công thức lũy thừa của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số 
 hoặc cùng số mũ, so sánh lũy thừa và các bài toán liên quan khác. 
 + Vận dụng một số tính chất của lũy thừa để tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa. 
 Trang 1 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 Lũy thừa với xn x. x ... x x , n , n 1 
 số mũ tự nhiên   
 Lũy thừa của n thõa sè
 một số hữu tỉ 
 Lũy thừa với 1
 n , 0, *
 số mũ nguyên xn x x n 
 âm x
 m n m n
 x: x x
 Các phép toán xxm. n x m n 
 x 0, m n 
 n n
 x x n n n n
 y 0 m m. n xy.. xy
 n x x 
 y y
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1. Tính lũy thừa của một số hữu tỉ 
 Phương pháp giải 
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên: Ví dụ: 
 xn x. x ... x x , n , n 1 2
   4 4.4 16;
 n thõa sè
 0,53 0,5.0,5.0,5 0,125;
Ngoài ra, lũy thừa với số mũ nguyên âm: 
 10 3 10 . 10 . 10 1000;
 1 *
 n 3
 x n x , x 0, n 
 x  1 1
 ;
 3 27
 0
 0,7 1
 Ví dụ mẫu 
 2 3
 4 2 2 100 0
Ví dụ 1. Tính 3 ; ; 1 ;1 ; 2 . 
 5 3 
 Hướng dẫn giải 
 3 4 3.3.3.3 81; 
 2
 2 2 2 4
 . ;
 5 5 5 25
 3 3
 2 5 5 5 5 5.5.5 125
 1 .. ;
 3 3 3 3 3 3.3.3 27
 1100 1;
 0
 2 1.
 Trang 3 
Hướng dẫn giải 
 3
 39 3 3.3 3 3 27 3 ;
 3
 212 2 4.3 2 4 16 3 .
Chú ý: Tách số mũ thành một số nhân với 3 rồi áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 16;25;32;81;128;125. 
 256
Câu 2: Viết số dưới dạng lũy thừa của các số hữu tỉ khác nhau. 
 625
 1
Câu 3: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa cơ số 5: ;0,008;125 
 25
Câu 4: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa có cùng số mũ là 5: 32;315 ;4 10 . 
Dạng 3: Thực hiện phép tính 
Bài toán 1. Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng cơ số 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Đưa các lũy thừa về dạng lũy thừa của các Ví dụ: 
 2
cơ số giống nhau (thường chọn ước chung nhỏ nhất a) 28 .4 2 2 8 . 2 2 2 8 .2 4 2 12 . 
khác 1 của các cơ số). 
 3
Bước 2. Áp dụng các quy tắc lũy thừa của một tích 2 23 8
 b) 3 . 
hoặc một thương để tính toán kết quả. 3 3 27
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau: 
a) 82 .2 4 b) 223 : 4 3 c) 1253 : 25 
Hướng dẫn giải 
 2
 a) 82 .2 4 2 3 .2 4 2 6 .2 4 2 10 1024
 3
 b)2:423 3 2:2 23 2 2:2 23 6 2 17 
 3
 c)1253 : 25 5 3 : 5 2 5 9 : 5 2 5 7
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa dưới cơ số chung là ước chung nhỏ nhất khác 1 của các cơ số. 
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 
 3
 1 
 .644
 274 .3 2 1252 .25 3 8 
a) b) c) 
 93 54 43
Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
Bài toán 3: Thực hiện các phép tính phức tạp 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức: 
 3 2
 2 3 5
 . . 1 6 3 3 6
 3 4 6 6 .3 3
a) 2 2 b) 
 2 5 73
 . 
 5 12 
Hướng dẫn giải 
 3 2
 2 3 5
 . . 1 3 2 2 2 2 3 4
 3 4 2 3 5 3 .4 2 .3
a)2 2 3 . 2 . 2 . 2 3 2 6.
 2 5 3 4 2 5 3 .2
 . 
 5 12 
 6 6 3
 66336663336 6 .3 3 2 .3 2 .3 .3 33 2 2 1 3 6 .73
b) 36
 73 73 73 73
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: 
 2 3 2
 2 1 20 18 
a) b) . 
 5 3 3 5 
Hướng dẫn giải 
 2 2 2
 2 1 6 5 11 112 121
a) 2
 5 3 15 15 15 15 225
 3 2 
 3 2 22 .5 2.3 2 6 3 2 4 8 4 3
 20 18 2 .5 2 .3 2 .3 .5 8
b) . 3 . 2 3 . 2 3 2 2 .3.5 3840
 3 5 3 5 3 5 3 .5
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 6. 
Câu 1: Giá trị của biểu thức 25 .2 6 bằng: 
 A. 210 B. 21 C. 211 D. 27 
 315
Câu 2: Giá trị của biểu thức bằng: 
 36
 A. 39 B. 3 9 C. 310 D. 321 
Câu 3: Rút gọn biểu thức 38 .9 2 dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ được kết quả là: 
 A. 310 B. 94 C. 312 D. 316 
 *
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng (với n )? 
 n 1 n 1 n
 n n n 1 x x x x n 1 n 1 n 1
 A. xy. xy B. n C. n 1 D. xy.. x y 
 y y y y 
 0,85
Câu 5: Rút gọn biểu thức bằng với giá trị nào dưới đây? 
 0,46
 A. 20. B. 40. C. 60. D. 80. 
Câu 6: Viết biểu thức 68 .12 5 dưới dạng 2a .3 b thì giá trị của a b là: 
 Trang 7 
 a) 227 và 318 . b) 2150 và 3100 . c) 2375 và 3250 . 
Câu 2: So sánh các cặp số sau: 
 6
 10 1 333 444 500 200
 a) 0,2 và . b) 4 và 3 . c) 2 và 5 . 
 25 
Dạng 5: Tìm số mũ, cơ số của lũy thừa 
Bài toán 1. Tìm số mũ của lũy thừa 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Tìm số tự nhiên n biết 8 2n 1 . 
Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng cơ số. Ta có: 8 2n 1 
Bước 2. Rút gọn hai vế về dạng an a m 23 2n 1 
Bước 3. Cho hai số mũ bằng nhau rồi giải ra kết quả. n1 3 n 2 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên n biết: 
 625 n
a) 5 3 
 n b) 9 
 5 27
Hướng dẫn giải 
 625 n
 a) 5 3 
 n b) 9
 5 27
 4
 5 n 3 2
 5 3 3 .3
 5n
 n 5
 54 n 5 3 3 
 4 n 1 3n 3 5
 n 3 n 5
Vậy n 3 Vậy n 5 
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n biết: 
a) 3n .2 n 36 b) 252n : 5 n 125 2 
Hướng dẫn giải 
 a) 3n .2 n 36 b) 252n : 5 n 125 2
 n 2n 2
 3.2 62 52 : 5n 5 3
 n 2
 6 6 4n n 6
 5 : 5 5 
 n 2 53n 5 6
Vậy n 2 3n 6
 n 2
 Vậy n 2 
Bài toán 2. Tìm cơ số của lũy thừa 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng số mũ. Ví dụ: Tìm x biết x3 8 
 Trang 9