Chuyên đề Logarit - Đại số 12

 BÀI 3: LÔGARIT 
 CHƯƠNG 2 
 A LÝ THUYẾT. 
I. ĐỊNH NGHĨA 
Cho hai số dương ab, với a 1. Số thỏa mãn đẳng thức ab được gọi là logarit cơ số a của b 
và kí hiệu là . 
 loga b
Như vậy loga bab . 
 Chú ý: 
 Không có logarit của số 0 và số âm vì a 0, . 
 Cơ số của logarit phải dương và khác 1 a 1 
 Theo định nghĩa của logarit, ta có: logaa 1 0; loga 1. 
 b
 loga a b ,  b . 
 log b
 aa b,  b , b 0 . 
II. CÁC TÍNH CHẤT 
1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số 1.2 Hệ quả: 
Cho số dương a 1 và các số dương bc, Cho số dương và các số dương 
 Khi a 1 thì logaab log c b c . Khi thì loga bb 0 1. 
 Khi 01 a thì logaab log c b c. Khi thì loga bb 0 1. 
 logaab log c b c . 
2. Logarit của một tích: 3. Logarit của một thương: 
Cho 3 số dương a,, b b với , ta có
 12 a 1 Cho 3 số dương a,, b12 b với a 1, ta có
 log (b . b ) log b log b b
 a1 2 a 1 a 2 log1 logbb log 
 ab a12 a
 2
 1
 Đặc biệt: với a, b 0, a 1 logaa log b 
 b
1 | 
 Lời giải 
 111 1 1 1 7
 4 8 248 8 4 2 8 7
Ta có P loga a a a logaa a . a . a log a . a . a logaaaa log . 
 8
 Câu 6 
 log5 ln2 
[Mức độ 2] Tính giá trị của biểu thức P ln2.log2 4.log 4 3.log 3 2 5 . 
 Lời giải 
 log5 ln2 1
Ta có P ln2.log2 4.log 4 3.log 3 2 5 2ln 2 . log23 3 .log 2 ln 2 
 2
 ln2. log23 3 log 2 ln2 ln2 ln2 0 . 
 Câu 7 
[Mức độ 2] Tìm các số thực dương a biết . 
 log2 aa .log2 32
 Lời giải 
 loga .log a 32 2log a .log a 32 log a 2 16
Ta có: 22 2 2 2 
 a 24 16
 loga 4
 2 . 
 4 1
 log2 a 4 a 2
 16
 Câu 8 
[Mức độ 2] Biết log2 3 a . Tính log12 18 theo a . 
 Lời giải 
 2
 log 18log2 2.3 1 2log 3 12 a
Ta có log 18 22 . 
 12 2
 log22 12log2 3.2 2 log 3 2 a
 Câu 9 
[Mức độ 3] Cho các số thực dương a , b , c ( với a , c khác 1) thỏa mãn các điều kiện 
 23
 logacac log b c và 2logaccb log 8 . Tính giá trị của biểu thức 
 2
 Plogac b log ab . 
 Lời giải 
 logac23 log b c 1 2logcb 1 3log logc 3
Từ giả thiết ta có: ac aca . 
 2logcb log 8 logb 2
 2logaccb log 8 ac c
 2 1 31
Khi đó Plog b log ab log c log b log a 2log b 2.3 2.2 . 
 a c a c c c 33
 Câu 10 
[Mức độ 4] Cho các số thực abc,, thỏa mãn b a10 , a 1, c 1 và 
 logab 2log b c 5log c a 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 P2loga c 5log c b 10log b a . 
 Lời giải 
3 | 
 a b c a aa
 P log . . log log : log1 0. 
 b c d d dd
 Câu 4 
 36
[Mức độ 1] Cho ab, là các số thực dương và a khác 1 . Rút gọn biểu thức: P log b log 2 b .
 a a 
 Lời giải 
 Với là các số thực dương và khác , ta có: 
 1
 P 3log b 6. log b 6log b . 
 aa2 a
 Câu 5 
 42
 log16xx log 2
[Mức độ 2] Cho x là các số thực khác 0 . Rút gọn biểu thức: P 2 . 
 Lời giải 
 Với là các số thực khác , ta có : 
 1
 424. logxx 2log 3
 log42xx log 22 3logxx log 3
 P 2 2 2 4 2222 x . 
 Câu 6 
[Mức độ 2] Cho là các số thực dương khác và thỏa mãn: lna ln 8 b 2ln a 2 b .
 1
Rút gọn biểu thức: P logba 2 a log 2 b . 
 2 log8 b
 Lời giải 
 Với là các số thực dương khác , ta có: lna ln 8 b 2ln a 2 b ln 8ab ln a 2 b 2
 2 2
 82ab a b a 2 b 0 a 2 b . 
 8b2
 Suy ra: P log 4 b log 2 b log 8 log logb2 2 . 
 b b b bb8
 Câu 7 
[Mức độ 2] Cho là các số thực dương và a khác . Rút gọn biểu thức:
 2lnb
 P log2 ab 1 .
 a ln a 
 Lời giải 
 Với là các số thực dương và khác , ta có: 
 2
 P loga a log a b 2log a b 1 
 2
 1 logaabb 2log 1 
 2 2
 1 2logab log a b 2log a b 1 logaabb log . 
 Câu 8 
[Mức độ 2] Cho ab, là các số thực dương và khác . Rút gọn biểu thức: 
5 | 
a. log3 4 và log3 5. b. log1 5 và log1 6 . 
 2 2
 Lời giải 
 45 
a. Ta có log33 4 log 5 . 
 31 
 56 
b. Ta có 1 log11 5 log 6 . 
 01 
 2 22
 Câu 2 
[Mức độ 1] Không sử dụng máy tính, hãy so sánh: 
 1 log 5 2
a. log 3 và log . b. 3 0,1 và 5log0,1 2 . 
 2 3 2
 Lời giải 
 11 1
a. Ta có log 3 log 1 log 3 0; log log 1 log 0. Do đó log 3 log . 
 2 2 2 322 3 3 232
 log0,1 5 0 log0,1 5
b. Ta có log0,1 5 log 0,1 1 log 0,1 5 0 3 3 hay 31 . 
 2 2
 2 2log0,1 2 0 log0,1 2
Mặt khác, log0,1 2 log 0,1 1 log 0,1 2 0 5 5 hay 51 . 
 2
Do đó 5log0,1 2 . 
 Câu 3 
[Mức độ 2] Không sử dụng máy tính, hãy so sánh: 
a. log2 7 và log3 7 . b. log2 5 và log3 5 . 
 3 4
 Lời giải 
 log2 7
a. Ta có log2 7 log 2 3.log 3 7 log 2 3. 
 log3 7
 32 
Lại có log2 3 log 2 2 log 2 3 1. 
 21 
 log2 7
Do đó 1. Mà log33 7 log 1 0 . Nên log23 7 log 7 . 
 log3 7
 log2 5
 333
b. Ta có log2 5 log 2 .log 3 5 log 2 . 
 3 34 4 log3 5 3 4
 4
 23
 1
 34 23 3
Lại có log222 log log 1. Hay 1 log 0 . 
 2 34 2 4
 01 333 3
 3
7 | 
 11
 Vậy log11 log . 
 3280 15 2
 44 55
 ln 3 ln ln ln 4 ln ln
 ln 4 ln 5
d. Ta có: log 4 33 1 và log 5 44 1 . 
 3 ln 3 ln 3 ln 3 4 ln 4 ln 4 ln 4
 4 5
 5 4 5 4 ln ln
 ln ln 3 4
 Lại có: 4 3 4 3 . 
 ln3 ln 4
 4 3 ln 4 ln3
 Vậy log34 4 log 5. 
 Câu 6 
 [Mức độ 2] Có thể kết luận gì về giá trị của a nếu biết: 
 2 2
 a. log2019 4aa log 2019 4 . b. log11 2aa 2 log 5 . 
 Lời giải 
a. Điều kiện: a 0 . 
 2019 1
 Ta có: 44aa 2 
 log 4aa log2 4
 2019 2019 
 a2 4 a 4 0 a 2 2 0 a 2 0 a 2 , (thỏa điều kiện). 
 Vậy a 2 . 
b. Điều kiện: a 0 . 
 1
 01 
 2
 Ta có 2aa 2 5 
 2
 log11 2aa 2 log 5 
 1
 2a2 5 a 2 0 a 2 , (thỏa mãn điều kiện). 
 2
 1
 Vậy a 2 . 
 2
 Câu 7 
 [Mức độ 2] Có thể kết luận gì về giá trị của nếu biết: 
 11 
 a. log log e . b. log log . 
 a22 2 a 1 a 2 a 1 11 
 aa 2019 2020 
 Lời giải 
 a 1
 aa2 2 1 0
a. Điều kiện: a 0* . 
 2 
 aa 2 1 1 
 a 2
 9 |