Chuyên đề Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Toán 8

 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG 
A. BÀI GIẢNG 
1. NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ 
Trên tập số thực, với hai số a và b sẽ xảy ra một trong các trường hợp sau: 
 . Số a bằng số b, kí hiệu là ab= . 
 . Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là ab< . 
 . Số a lớn hơn số b, kí hiệu là ab> . 
Từ đó, ta có thêm nhận xét: 
 . Nếu a không nhỏ hơn b thì ab= hoặc ab> , khi đó ta nói a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là 
 ab≥ . 
 . Nếu a không lớn hơn b thì ab= hoặc ab< , khi đó ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là 
 ab≤ . 
Ví dụ 1. Điền dấu thích hợp (=, ) vào ô vuông: 
 a. 1, 53  1, 8 b. -2,37  -2,41 
 12− 2 3 13
 c.  d.  
 −18 3 5 20
 Giải 
Ta có ngay: 
 12− 2 3 13
a. 1,53 -2,41 c. = d. < 
 −18 3 5 20
2. BẤT ĐẲNG THỨC 
Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng: 
 A>≥<≤ BA, BA, BA, B. 
3. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG 
Ví dụ 2. a. Khi cộng -3 vào cả hai vế của bất đẳng thức −<42 thì được bất đẳng thức nào? 
 b. Dự đoán kết quả khi cộng số c vào cả hai vế của bất đẳng thức −<42 thì được bất đẳng thức 
 nào? 
 Giải 
Ta có ngay: 
 −34 − <− 32 + ⇔− 7 <− 1 (đúng) và dự đoán được rằng cc−<+42 
Tính chất: Với ba số a, b và c, ta có: 
 . Nếu ab> thì acbc+>+ 
 . Nếu ab< thì acbc+<+ 
 . Nếu ab≥ thì acbc+≥+ 
 . Nếu ab≤ thì acbc+≤+ 
PHIẾU BÀI LUYỆN 
Bài 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? 
a) 5 ( 8) 3 b) (3)(7)(5)(4)   
c) (7)9 2 (10)(4)  c) xx2 11 
Bài 2: Cho ab hãy so sánh 
a) a 3 và b 3 b) a 2 và b 2 
c) a và b 1 d) a 2 và b 1 
Bài 3: So sánh ab; nếu: 
a)ab 44 b) 55 ab 
c) ab 99 c) ab 17 17 
Bài 4: Sắp xếp các số sau từ lớn đến bé và biểu diễn trên trục số: 
 31−
a) −−−−7; 8; 1; 5; 0, 3,8; b) − ; ;0; 2; 5;1. 
 52
Bài 5: Cho x 89 . Chứng minh x 3 20. 
Bài 6: Cho x 5 15. Chứng minh x 2 8. 
Bài 7: So sánh x và 0 trong mỗi trường hợp sau: 
a) x −8 ≤− 8; b) x22 xx 
Bài 8: Cho ab . Chứng minh ab 2 4 6 .... 18 20 108. 
Tự luyện: 
Bài 1: Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 
 11
a) −>3.(2) 6 b) 55− <− + 
 55
c) −+≤4 3 7; d) −x2 −≤10 
Bài 2: So sánh x và y trong mỗi trường hợp sau: 
 55
a) xy−≤−; b) −55 −xy >− − 
 33
Bài 3: Cho ab hãy so sánh 
a) a 26 và b 26 b) a 4 và b 4 
c) a và b 4 d) a 6 và b 3 
TRẮC NGHIỆM 
Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng ( trừ câu 2) 
Câu 1: Số a không lớn hơn số b. Khi đó ta kí hiệu 
A. ab B. ab C. ab D.ab 
 Câu 2: Khi cộng cùng một số vào cả 2 vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới 
với bất đẳng thức đã cho. 
a) ab 3 < 3 (cùng cộng với 3) 
b) ab 22 (cùng cộng với 2 
c) ab 1 < 1 (cùng cộng với 1). 
Vậy aa 11 b ab 1 (tính chất bắc cầu) 
d) Tương tự có: aab 2 11 
Bài 3: HD: a) a 44 b ab (cùng cộng với 4) 
b) 55 a b ab ( cùng cộng với 5 
c) a 99 b ab (cùng cộng với 9 ) 
d) a 17 b 17 ab (cùng cộng với 17) 
Bài 4: HD: 
a) Thứ tự sắp xếp: 8; 3; 0; -1; -5; -7; -8 (tự biểu diễn) 
 13
b) Thứ tự sắp xếp: 5 ; 2 ;1; 0;−− ; 
 25
Bài 5: HD: xx 8 9 8 11 11 9 x 3 20 
Bài 6: HD: xx 5 15 5 7 15 7 x 2 8 
Bài 7: HD: a) xx−8 ≤− 8 ⇔ − 88 + ≤( − 8) + 8 ⇔ x ≤ 0 
b) xxxxxxxxxxxx2 22 22 222 0 
 20 2 
Bài 8: HD: Tính tổng: 2 4 6 .... 18 20 : 20 2 : 2 1 11.10 110 
 2 
abab 108 108 110 ab 108 . 
 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 
 b. Dự đoán kết quả khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức −<23 với số c âm thì được bất đẳng 
thức nào? 
 Giải 
Ta có ngay: −2.( − 345) < 3.( − 345) ⇔ 690 <− 1035, sai. 
Tức là dấu bất đẳng thức cần đổi chiều về dạng 690>− 1035 và dự đoán được rằng −>23cc với c âm. 
Tính chất 2.: Với ba số a, b và c < 0 , ta có: 
 ab
 . Nếu ab> thì ac..< bc và < . 
 cc
 ab
 . Nếu ab≥ thì ac..≤ bc và ≤ . 
 cc
 ab
 . Nếu ab bc và > . 
 cc
 ab
 . Nếu ab≤ thì ac..≥ bc và ≥ . 
 cc
 Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới 
 ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. 
Ví dụ 4. Cho −44ab >− , hãy so sánh a và b. 
 Giải 
Bằng cách chia hai bất đẳng thức với -4, ta được ab< . 
Ví dụ 5. Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác 0 thì sao? 
 Giải 
 Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác 0 thì: 
 . Dấu bất đẳng thức không thay đổi nếu a > 0 . 
 . Dấu bất đẳng thức đổi chiều nếu a < 0 . 
3. TÍNH CHẤT BẮC CẦU CỦA THỨ TỰ 
 Tính chất: Với ba số a, b và c, nếu ab> và bc> thì ac> 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 
 a. (− 6).5 <− ( 5).5 
 b. (6).(3)(5).(3)− − <− − 
 c. (− 2003).( − 2005) ≤− ( 2005).2004 
 dx. -32 ≤ 0 
Hướng dẫn: Sử dụng liên hệ giữa thứ tự với phép nhân. 
 Giải 
a. Ta có bất đẳng thức 
 12 −35 >−
  ⇒>a 0  ⇒a 0 
 12aa−
Ví dụ 5. Hãy xác định dấu của số a, biết: 
 a
 aa. 6> 3 a ba. ≤ 
 2
 Giải 
a. Ta viết lại: 
 6aa>⇔ 3 6. a > 3. a 
 Tức là, bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức đúng 63> với a. 
 Vậy, từ sự cùng chiều của hai bất đẳng thức suy ra a > 0 . 
b. Ta viết lại: 
 a 1
 a≤⇔1. aa ≤ . 
 22
 1
 Tức là, bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức đúng 1 > với a. 
 2
 Vậy, từ sự ngược chiều của hai bất đẳng thức suy ra a ≤ 0 
Ví dụ 6. Cho ab< , chứng tỏ: 
 aa. 3131+− b − 
 Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức cơ sở để biến đổi. 
 Giải 
Ta có: 
 ababa< ⇔3 < 3 ⇔ 3131 +< b + 
 ababa− 2 ⇔− 2525 − >− b − 
Ví dụ 7. Cho bất đẳng thức m > 0 . Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 
1
 > 0 . 
m
 Giải 
Với bất đẳng thức giả thiết: 
 1
 m > 0 nhân cả hai vế của bất đẳng thức với , ta được: 
 m2
 1 11
 m.> 0. ⇔> 0 
 mm22m
Ví dụ 8. Cho ab< , chứng tỏ: 
 aa. 2323−< b − ba. 2−< 3 2 b + 5 
 Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức cơ sở để biến đổi. 
 Giải 
a. Ta có biến đổi: 
 a+<+⇔<55 b ab 
b. Ta có biến đổi: 
 −>−⇔<33a b ab 
c. Ta có biến đổi: 
 565655a−≥ b −⇔ a ≥ b ⇔≥ ab 
d. Ta có biến đổi: 
 −2323a + ≤− b + ⇔− 2 a ≤− 2 b ⇔ ab ≥ 
Ví dụ 13. Cho ab< , hãy so sánh: 
 a. 21a + và 21b + b. 21a + và 23b + 
 Giải 
a. Ta có biến đổi: 
 ababa< ⇔2 < 2 ⇔ 2121 +< b + (1) 
b. Ta có: 
 13< ⇔ 2bb +< 12 + 3 (2) 
Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy ra 2ab+< 12 + 3 
Ví dụ 14. Cho ab>>0 , hãy chứng tỏ rằng: 
 a. a2 > ab b. ab33> 
 Giải 
a. Với bất đẳng thức giả thiết: 
 ab> 
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với a > 0 , ta được: 
 a2 > ab , đpcm. (1) 
b. Với bất đẳng thức giả thiết: 
 ab> (*) 
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với a2 > 0 , ta được: 
 a32> ab (2) 
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với b > 0 , ta được: 
 ab> b2 (3) 
Từ (1) và (3) suy ra: ab22> (4) 
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (4) với b > 0 , ta được: 
 ab23> b (5) 
Từ (2) và (5) suy ra ab33> , đpcm. 
a. Biến đổi tương đương bất đẳng thức: 
 a22+ b −2 ab ≥⇔ 0( a − b )02 ≥, luôn đúng. 
b. Với bất đẳng thức giả thiết: 
 ab22+
 ≥ ab , nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2, ta được: 
 2
 a22+≥ b2 ab . 
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với −2ab , ta được: 
 a22+−≥−⇔−≥ b2 ab 2 ab 2 ab ( a b )02 , luôn đúng. 
Nhận xét: 
1. Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy ngay rằng “Để chứng minh một bất đẳng thức, ngoài việc sử dụng 
 các tính chất thứ tự với phép cộng và phép nhân chúng ta còn có thể sử dụng các phép biến đổi tương 
 đương để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một bất đẳng thức luôn đúng hoặc ngược lại (xuất phát 
 từ một bất đẳng thức đúng biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh)”. 
 ab22+
 2. Xuất phát từ kết quả ≥ ab , nếu đặt xayb=22, = (khi đó xy,0≥ ) thì ta nhận được một bất 
 2
 đẳng thức dạng: 
 xy+
 ≥ xy , với xy,0≥ . 
 2
 Bất đẳng thức trên được gọi là Bất đẳng thức Côsi. 
 PHIẾU TỰ LUYỆN 
Bài 1: Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 
 x2
a) (− 13).( − 5) >− ( 13).2; b) ≥ 0; 
 2
 35
c) −<.3 3. ; d) 7 ( 3).5 7 ( 5).( 3). 
 53
Bài 2: Cho ab , hãy so sánh: 
a) 34a và 34b b) 23 a và 23 b 
c) 23a và 23b d) 24a và 25b 
Bài 3: Số a là âm hay dương nếu: 
a) 8aa 4; b) 6aa 12 ; c) 6aa 12 ; d) 5aa 15 
Bài 4: So sánh a và b nếu: 
a) 2ab 2018<2 2018 b)2018ab – 2019 2018 – 2019 
c 2018 – 5ab 2018 – 5 d)(ma22 1) 9 ( mb 1) 9