Chuyên đề Lập phương trình mặt phẳng - Hình học 12

 CHƯƠNG 3 
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
 II CÁC DẠNG TOÁN. 
 = 
1. DẠNG 1. Lập phương trình mặt phẳng. 
1.1. Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước. 
1.1.1. Phương pháp: 
- Mặt phẳng P đi qua điểm Ax 0;y 0 ;z 0 và có vectơ pháp tuyến n A;; B C có phương trình là: 
A x x0 B y y 0 C z z 0 0 * . 
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến suy ra phương trình có dạng: 
Ax By Cz D 0 . 
- Cách tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. 
+ Cách 1. Tìm một vectơ a có giá vuông góc với mặt phẳng P suy ra VTPT là na . 
+ Cách 2. Tìm cặp vectơ chỉ phương là của mặt phẳng suy ra VTPT n u. v . 
 uv, 
- Mặt phẳng : đi qua điểm A x1;; y 1 z 1 Ax1 By 1 Cz 1 D 0 
1.1.2. Ví dụ: 
 Ví DỤ 1 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A 1; 1;2 và có 
 vectơ pháp tuyến n 2; 1;3 . 
 Lời giải 
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến suy ra pttq: 
21113202 x y z x y 380 z . 
 Ví DỤ 2 
 Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm C 0; 3;5 và 
 vuông góc với đoạn AB với AB 3; 1;2 , 2;0;5 . 
 Lời giải 
Mặt phẳng vuông góc với đoạn suy ra vectơ pháp tuyến n AB 1;1;3 và đi qua điểm 
 . Do đó ptmp cần lập là: 1013350 x y z x y 3100 z . 
 Ví DỤ 3 
 Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 
 với AB 4; 1;2 , 2;3; 2 . 
 Lời giải 
Gọi P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng suy ra mp có vectơ pháp tuyến 
n AB 2;4; 4 và đi qua trung điểm I 3;1;0 của đoan thẳng . 
Suy ra ptmp cần lập là: 2341400 x y z x 2210 y z . 
1 
 n AB; j 4;0; 1 . 
 Phương trình P : 4 x 0 0 y 0 1 z 1 0 4 x z 1 0. 
 Ví DỤ 2 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm AB 1;2; 1 ; 2;1;0 mặt phẳng 
 P : 2 x y 3 z 1 0 . Gọi Q là mặt phẳng chứa AB; và vuông góc với . Hãy viết 
 phương trình mặt phẳng Q : 
 Lời giải 
 Mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng nên có cặp vecto chỉ phương 
 là AB 1; 1;1 và n 2;1; 3 n AB; n 2;5;3 . 
 P QP 
 Mặt phẳng đi qua điểm A 1;2; 1 nên phương trình mặt phẳng là: 
 2 x 15 y 23 z 1025390. x y z 
 Ví DỤ 3 
 Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác ABC với A 1; 2;3 , B 0;2; 1 , 
 C 3;0; 2 . Hãy viết phương trình mặt phẳng P đi qua A , trọng tâm G của tam giác và 
 vuông góc với ABC . 
 Lời giải 
 4 1
 Ta có AB 1;4; 4 , AC 2;2; 5 , G ;0;0 , AG ;2; 3 
 3 3
 có vectơ pháp tuyến n AB, AC 12;13;10 . 
 118 59 59
 có vectơ pháp tuyến k AG, n 59; ; 3; 2; 1 
 33 3
 : 3 x 1 2 y 2 z 3 0 3x 2 y z 4 0 . 
 Ví DỤ 4 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0; 1;0 , B 1;1; 1 và mặt cầu 
 S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Hãy viết phương trình mặt phẳng P đi qua , B và cắt 
 mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất. 
 Lời giải 
 Để cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì ()P phải qua tâm 
 I(1; 2;1) của . 
 Ta có AI (1; 1;1), BI (0; 3;2) nP AI, BI (1; 2; 3) . 
 112 x y 2310 z x 2320 y z 
3 
 Ví DỤ 1 
 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A 1;3;2 , B 2;5;9 , 
 C 3;7; 2 . 
 Lời giải 
 AB 1;2;7 , AC 4;4; 4 . 
 Mặt phẳng ABC qua điểm và có một vectơ pháp tuyến là 
 n AB; AC 36; 24;12 . 
 Vậy phương trình mặt phẳng ABC là: 
 36 xyz 1 24 3 12 2 0 hay 3x 2 y z 7 0 . 
 Ví DỤ 2 
 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1;2;0 , B 3;0;2 , C 1;2;3 , D 0;3; 2 . Viết 
 phương trình mặt phẳng ABC và suy ra bốn điểm ABCD,,, tạo thành tứ diện. 
 Lời giải 
 AB 2; 2;2 , AC 2;0;3 . 
 Mặt phẳng qua điểm A 1;2;0 và có một vectơ pháp tuyến là 
 n AB; AC 6;10;4 . 
 Vậy phương trình mặt phẳng : 6 x 1 10 y 2 4 z 0 0 hay 
 3x 5 y 2 z 13 0 * . 
 Thay tọa độ điểm D vào * ta được 3.0 5.3 2 2 13 2 0 . 
 Suy ra D ABC nên bốn điểm ABCD,,, tạo thành tứ diện. 
 Ví DỤ 3 
 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A 2;1;6 , B 3;5;1 và cách 
 đều hai điểm C 6;4;0 , D 4;5;0 . 
 Lời giải 
 Mặt phẳng cách đều hai điểm , khi và chỉ khi CD // hoặc 
 đi qua trung điểm I của CD. 
 Trường hợp 1: //CD . 
 AB 1;4; 5 , CD 2;1;0 . 
 Mặt phẳng qua điểm A 2;1;6 và có một vectơ pháp tuyến là 
 n AB; CD 5;10;9 . 
 Vậy phương trình mặt phẳng là: 
 5 x 2 10 y 1 9 z 6 0 hay 5x 10 y 9 z 74 0. 
 9
 Trường hợp 2: đi qua trung điểm I 5; ;0 của . 
 2
 7
 , AI 3; ; 6 . 
 2
5 
 4 8 8 13
 Đặt J x; y ; z IJ x ; y ; z 1 , IA 2;2;1 . IJ IA J ;; . 
 9 9 9 9
 8 8 13
 Mặt phẳng BCD đi qua J ;; và có véctơ pháp tuyến n 2;2;1 có phương 
 9 9 9
 trình: 
 8 8 13 
 2 x 2 y z 0 2 x 2 y z 5 0 . 
 9 9 9 
1.4. Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. 
1.4.1. Phương pháp: 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua 3 điểm Ma ;0;0 , Nb 0; ;0 , 
 x y z
Pc 0;0; abc, , 0 có phương trình là: 1. 
 a b c
1.4.2. Ví dụ: 
 Ví DỤ 1 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 và P 0;0;2 . Lập 
 phương trình mặt phẳng MNP . 
 Lời giải 
 x y z
Mặt phẳng có phương trình là: 1. 
 2 1 2
 Ví DỤ 2 
 Trong không gian Oxyz , gọi ABC,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 1;2;3 lên các 
 trục tọa độ. Lập phương trình mặt phẳng ABC . 
 Lời giải 
Ta có: ABC 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3 . 
 x y z
Vậy phương trình mặt phẳng là: 1. 
 1 2 3
 Ví DỤ 3 
 Trong không gian với hệ toạ độ , gọi P là mặt phẳng qua G 1;2;3 và cắt các trục 
 Ox,, Oy Oz lần lượt tại các điểm ABC,, (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC
 . Lập phương trình mặt phẳng P . 
 Lời giải 
Giả sử A a;0;0, B 0; b ;0, C 0;0; c abc, , 0 . 
 x y z
Khi đó phương trình mp P có dạng: 1. 
 a b c
 1 2 3
Do mp P đi qua G 1;2;3 nên ta có: 1 (1) 
 abc
7 
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
1.5. Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách. 
1.5.1. Phương pháp: 
Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q :0 Ax By Cz D cho trước và 
cách điểm Mx 0;yoo ;z một khoảng k cho trước . 
 1) Vì PQ // nên phương trình có dạng Ax By Cz D' 0 D D ' . 
 Ax By Cz D'
 2) Sử dụng công thức khoảng cách d M, P k o o o k để tìm D' . 
 ABC2 2 2
1.5.2. Ví dụ: 
 Ví DỤ 1 
 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Q : x 2 y 2 z 3 0 và điểm A 3;1;1 . Viết phương 
 trình mặt phẳng song song với mặt phẳng Q và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 
 bằng 2 . 
 Lời giải 
Vì nên có dạng x 2 y 2 z D 0 D 3 . 
 3 D D 9
Ta có d A, P 2 2 
 3 D 3
Vậy P : x 2290, y z P : x 2230 y z 
 Ví DỤ 2 
 Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng qua O, vuông góc với mặt phẳng 
 Q :0 x y z và cách điểm M 1;2; 1 một khoảng bằng 2 . 
 Lời giải 
Mặt phẳng qua O nên có dạng Ax By Cz 00 A2 B 2 C 2 . 
Vì PQ  nên 1.AAB 1.B 1.C 0 C . 
 P :0 Ax By A B z . 
 ABAB 2 
Ta có d M, P 2 2 
 ABAB22 2
 2
 2A 3 B 2 2 A22 2 B 2 AB 
 5B2 8 AB 0
 BBA 5 8 0
 B 0
 8AB 5 0
Nếu BCA 0 . Chọn A 1, C 1 P : x z 0 . 
Nếu 8AB 5 0. Chọn A 5,B 8 P :5 x 8 y 3 z 0. 
9