Chuyên đề Khối đa diện và thể tích của khối đa diện - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN 
A. LÝ THUYẾT 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Khái niệm về thể tích khối đa diện 
Cho khối đa diện H , khi đó thể tích khối đa diện là số dương V()H thỏa mãn : 
a) Nếu là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V()H 1. 
b) Nếu hai khối đa diện H và H bằng nhau thì VV . 
 1 2 ()()HH12
c) Nếu khối đa diện được phân chia thành hai khối đa diện và thì 
VVV . 
 ()()()HHH12
Định lí : Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước abc,, : V a.. bc S
2. Thể tích khối chóp 
 1
+ Thể tích khối chóp V .. B h 
 3 h
 C
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy. A
 H
 h : là chiều cao của khối chóp. 
3. Thể tích khối lăng trụ B
 A1 C1
+ Thể tích khối lăng trụ V B. h 
 B1
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy. 
 h : là chiều cao của khối lăng trụ. 
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao là độ dài cạnh bên. 
 A C
 G
4. Tỉ số thể tích. H
 B
Cho hình chóp S. ABC . Trên các đoạn thẳng SA,, SB SC lần lượt lấy ba điểm MNK,, khác với S 
, khi đó ta có: S
V SM SN SK
 S. MNK ... 
VS. ABC SA SB SC
 M K
 n
 N
 A
 C
 B
+ Các công thức tính nhanh (nếu có), có chứng minh các công thức tính nhanh (nếu có thể). 
CÔNG THỨC 1 
Với tứ diện ABCD có AB,, AC AD đôi một vuông góc và AB a,, AC b AD c , ta có 
 1
V abc . 
 ABCD 6
 Chứng minh 
1 Hình học lớp 12 | 
 Chứng minh 
Xem SGK GT12-Tr118-119. 
CÔNG THỨC 4. 
Thể tích khối tứ diện biết các góc ,,   và các cạnh a,, b c tại cùng một đỉnh: 
 abc
V . 1 2cos cos  cos  cos2 cos 2  cos 2  
 6
 Chứng minh 
Xét tứ diện S. ABC có các góc và các cạnh tại đỉnh S như hình vẽ trên. 
Dựng mặt phẳng qua A , vuông góc với SA , cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại BC , . 
 SA a SA a
Ta có SB ; SC và AB atan  , AC a tan . 
 cos cos cos  cos 
 VS. ABC SB SC bc
 . 2 . 
VS. AB C SB SC a cos  cos
Áp dụng định lí cosin trong SB C , có 
 2 2 2
2AB AC .cos B AC AB AC B C 
 2 2 2 2 2 1 1 2cos 2 2cos
 atan  a tan a 22 a 2 
 cos cos  cos cos  cos  .cos
 cos cos .cos 
 AB . AC .cos B AC a . . 
 cos  .cos
3 Hình học lớp 12 | 
CÔNG THỨC 6. 
Tỉ số thể tích hai hình chóp có đáy hình bình hành. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình 
hành; và hình chóp tứ giác SABCD. có ABCD ,,, lần lượt nằm trên các cạnh SA,,, SB SC SD ; 
 VSABCD. 1 SA SC SB SD 
khi đó: .. . 
 VS. ABCD 2 SA SC SB SD
 Chứng minh 
 V V V11 SA SC SD SA SC SB 
Ta có SABCDSACDSACB... ...... 
 VS... ABCD2 V S ACD 2 V S ACB 2 SA SC SD 2 SA SC SB
 1 SA SC SB SD 
 ... . 
 2 SA SC SB SD
CÔNG THỨC 7 
Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ ABC. A B C lần lượt tại MNP,, sao cho 
 AM BN CP x y z
 x,, y z . Khi đó VV . 
 AA BB CC ABC.. MNP3 ABC A B C 
 Chứng minh 
5 Hình học lớp 12 | 
 11 AA1 CC 1 BB 1 DD 1 
 ..VVABCD.. A B C D ABCD A B C D . 
 22 AA CC BB DD 
CÔNG THỨC 9. 
Cho hình chóp S. ABC với các mặt phẳng SAB ,, SBC SCA vuông góc với nhau từng đôi 
một, diện tích các tam giác SAB,, SBC SAC lần lượt là SSS1,, 2 3 . 
 2SSS
Khi đó: V 1 2 3 . 
 S. ABC 2
 Chứng minh 
Đặt SA a , SB b , SC c . 
 1 1 1
Suy ra S1 ab;; S 2 bc S 3 ca .
 2 2 2 
 1 1 1 
 2 2 2 2 ab bc ca 
 1 abc 2 2 2 2.SSS1 . 2 . 3
VS. ABC abc . 
 6 6 3 3 
CÔNG THỨC 10. 
Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với ABC , hai mặt phẳng SAB và SBC vuông 
góc với nhau, BSC  ; ASB . 
 SB3.sin 2  .tan
Khi đó: VS. ABC 
 12 
 Chứng minh 
SA SB.cos . 
 SAB và SBC vuông góc với nhau. 
Nên BC vuông góc SAB . 
7 Hình học lớp 12 | 
 1 1 3 3
 GM AM  a a . 
 3 3 2 6 
 3
 SG a tan . 
 6 
 1 1 3 3 a3 tan 
V ... a2 atan . 
 S. ABC 3 2 2 6 24
CÔNG THỨC 13. 
Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy 
góc  . 
 3b32 .sin . co s
Khi đó: V . 
 S. ABC 4 
 Chứng minh 
SG bsin  . 
 33
 AM AG . b . co s BC 3. b . co s .
 22 
 3 3 3b32 .sin . co s
S b22 cos  V . 
 ABC44 S. ABC
CÔNG THỨC 14. 
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a , và 
SA SB SC SD b . 
 a242 b 2 a 2
Khi đó: V . 
 ABCD 6
 Chứng minh 
 a2
SO SA2 OA 2 b 2 .
 2 
9 Hình học lớp 12 | 
 2 2 2
 2 abc 
 m 
 h2 m 2 c 2 2
 a2 b 2 c 2
Từ h2 n 2 b 2 n 2 . 
 2
 2 2 2
 m n a 2 2 2
 2 a b c
 h 
 2
Suy ra: 
 1
V ( a2 b 2 c 2 )( a 2 b 2 c 2 )( a 2 b 2 c 2 ) . 
 ABCD 62
Cách 3: Dựng hình hộp chữ nhật AMCN. PBQD như hình bên. 
 N
 n C
 A b
 m
 c M
 D
 p
 a
 Q
 P
 B
Gọi các kích thước của hình hộp là m, n , p . 
 1
Ta có: VVVVV . Suy ra: 
 PADDD.D B MABC QBC NAC6 AMCN PBQ
 11
V V m.. n p . 
 ABCD.D33 AMCN PBQ
 2 2 2
 2 a b c
 m 
 m2 n 2 b 2 2
 abc2 2 2
Ta có: m2 p 2 a 2 n 2 . 
 2
 2 2 2
 p n c 2 2 2
 2 a b c
 p 
 2
 1
V ( a2 b 2 c 2 )( a 2 b 2 c 2 )( a 2 b 2 c 2 ) . 
 ABCD 62
Cách 4: 
 A
 b
 I
 a
 c
 B
 D
 J
 C
11