Chuyên đề Khối đa diện lồi và khối đa diện đều - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
BÀI 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
A. LÝ THUYẾT 
1. Khối đa diện lồi 
Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm 
thuộc đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đa diện đó. 
 E
 D
 A
 C 
 B
 F
Khối đa diện lồi. Khối đa diện không lồi 
Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía 
đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2) 
Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi D là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt 
D2 CM . 
2. Khối đa diện đều 
a. Định nghĩa 
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: 
+ Các mặt là những đa giác đều n cạnh. 
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p mặt. 
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại np,  
b. Định lý 
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại 3;3, loại 4;3, loại 3;4, loại 5;3,loại 3;5.Tùy 
theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; 
khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều. 
3. Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều 
1 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 1 
 Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi? 
 Lời giải 
 N
 M 
Ta có đường nối hai điểm MN không thuộc hình IV nên đây không phải là đa diện lồi. 
 Ví dụ 2 
 Cho các khối đa diện sau, những khối nào là khối đa diện lồi, vì sao? 
 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 
 Lời giải 
- Theo lí thuyết ta thấy Hình không phải đa diện; hình 3 không phải là đa diện lồi 
- Theo định nghĩa hình là khối đa diện lồi. 
- Hình 4 có thể là đa diện lồi, cũng có thể không phải là khối đa diện lồi. 
 Ví dụ 3 
 Trong một khối đa diện với các mặt là các tam giác, gọi C là số cạnh và M là số mặt của đa diện. 
 Tìm hệ thức liên hệ giữa M và C. 
 Lời giải 
3 
 Hình học lớp 12 |
 Ví dụ 3 
 ( ĐH VINH LẦN 4 năm 2017) Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều 
 Khối tứ diện đều; Khối lập phương; Bát diện đều ;Hình mặt đều; Hình mặt đều 
 Những khối nào có cùng số cạnh? 
 Lời giải 
Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh 
 Ví dụ 4 
 Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành hình đa diện đều nào?. 
 Lời giải 
Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình tứ diện đều 
 Ví dụ 5 
 Tính số cạnh của hình hai mươi mặt đều ( loại ) ? 
 Lời giải 
 Mn. 20.3
Vận dụng công thức 2.C M n C 30 cạnh. 
 2 2
 Ví dụ 6 
 Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là: 
 Lời giải 
 Mn. 12.5
Vận dụng công thức số đỉnh : 20 . 
 p 3
 Ví dụ 8 
 Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm 
 từ các que tre có độ dài . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm cái đèn (giả 
 sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)? 
 Lời giải 
5 Hình học lớp 12 | 
 A
 G
 E
 F
 B
 H D
 J I
 C
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm 
cạnh đối diện gồm ADJ , ABI , ACH , BCG , CDE , BFD . 
 Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng 
 Ví dụ 2 
 Hãy chỉ ra các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều. 
 Lời giải 
 S
 I
 A D
 F
 H
 B G C
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm: SAC , SBD , SFH , SIG . 
 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy. 
 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy. 
7 Hình học lớp 12 | 
 . 
 Ví dụ 
 Hãy chỉ ra các mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau. 
 Lời giải 
Có 3 mặt phẳng. 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
 Trắc nghiệm. 
Câu 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với ABCD . 
 Hình chóp này có mặt đối xứng nào? 
 A. Không có. B. SAB . C. SAC . D. SAD . 
 Lời giải 
 Chọn C. 
 Ta có: BD SAC và O là trung điểm của BD. Suy ra là mặt phẳng trung trực 
 của . Suy ra là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất. 
9 Hình học lớp 12 | 
Câu 5. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là 
 A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều. B. Các đỉnh của một hình bát diện đều. 
 C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt 
 đều. 
 Lời giải 
 Chọn B. 
 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi MNPIJK,,,,, lần lượt là trung điểm của các cạnh 
 AB,,,,, BC CD AC AD DB . 
 1
 Ta có: IM IN NM a (tính chất đường trung bình của tam giác). Suy ra IMN 
 2
 đều. 
 Chứng minh tương tự, ta có các tam giác: IPN , IPJ , KPJ , KPN , IMJ , KMJ , KMN 
 là các tam giác đều. 
 Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là mà mỗi đỉnh là 
 đỉnh chung của đúng 4 tam giác đều. Do đó đa diện đó là đa diện đều loại 3;4 tức là 
 bát diện đều. 
Câu 6. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 
 A. Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình lập phương. 
 B. Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình tứ diện đều. 
 C. Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình lập phương. 
 D. Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình tứ diện đều. 
 Lời giải 
11