Chuyên đề Khối đa diện, góc và khoảng cách - Toán 12

 Hình Học Không Gian
 MỤC LỤC
HÌNH ĐA DIỆN ......................................................................................................................................3
 A – KIẾN THỨC CHUNG...................................................................................................................3
 I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN ................................................................3
 II. HAI HÌNH BẲNG NHAU ...............................................................................................................4
 III. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN............................................................................5
 IV. KHỐI ĐA DIỆN LỒI .....................................................................................................................5
 V. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .....................................................................................................................6
 B – BÀI TẬP.........................................................................................................................................8
THỂ TÍCH HÌNH CHÓP.....................................................................................................................30
 A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................30
 B – BÀI TẬP.......................................................................................................................................31
 HÌNH CHÓP ĐỀU..............................................................................................................................31
 HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY................................................................38
 HÌNH CHÓP CÓ MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY............................................................................46
 HÌNH CHÓP KHÁC...........................................................................................................................54
TỈ SỐ THỂ TÍCH .................................................................................................................................69
 A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................69
 B - BÀI TẬP .......................................................................................................................................69
HÌNH LĂNG TRỤ ................................................................................................................................81
 A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................82
 B – BÀI TẬP.......................................................................................................................................82
 THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG.........................................................................................................82
 THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN...........................................................................................................96
KHOẢNG CÁCH................................................................................................................................103
 A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................104
 B – BÀI TẬP.....................................................................................................................................105
 I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG ..........................................................105
 II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG....................................................119
GÓC......................................................................................................................................................129
 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...........................................................................................................129
 B – BÀI TẬP.....................................................................................................................................129 Hình Học Không Gian
Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và 
miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường –thẳng d nào 
đấy.
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
II. HAI HÌNH BẲNG NHAU
1. Phép dời hình trong không gian và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
 • Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi 
 là một phép biến hình trong không gian.
 • Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa 
 hai điểm tùy ý.
Nhận xét: 
 • Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
 • Phép dời hình biến một đa diện thành H một đa diện H ' , biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa 
 diện H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện H ' .
  
a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho MM ' v .
 b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mọi 
 điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P) M
 thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’. 
 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính 
 nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H). M1
 P
 M'
 c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành M'
 chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung 
 điểm của MM’.
 Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O O
 được gọi là tâm đối xứng của (H).
 M
 d) Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình mọi d
 điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành 
 điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua 
 đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
 Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính M'
 M
 nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H). O
2. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Nhận xét Hình Học Không Gian
Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ-C+M=2
V. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
 Quan sát khối tư diện đều (Hình 2.2.1), ta thấy các mặt A D' C'
 của nó là những tam giác đều, mỗi đỉnh của nó là đỉnh A'
 chung của đúng ba mặt. Đối với khối lập phương (Hình B'
 2.2.2), ta thấy các mặt của nó là những 
 D
 B D
 C
 C A B
 Hình 2.2.1 Hình 2.2.2
hình vuông, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung đúng ba mặt. Những khối đa diện nói trên được gọi là khối 
đa diện đều
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loiaj {p;q}. 
Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.
Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, 
loại {5,3}, và loại {3,5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện 
đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
 Năm khối đa diện đều
 Khối lập Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi mặt 
 Tứ diện đều
 phương đều đều đều
Nhận xét:
 • Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
 • Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.
 Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
 Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Hình Học Không Gian
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. Chỉ có năm loại hình đa diện đều.
 B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là hình đa diện đều. 
 C. Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. 
 D. Hình chóp tam giác đều là hình đa diện đều.
Hướng dẫn giải:
 + Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều lồi, chúng là các khối đa 
 diện duy nhất (xem chứng minh trong bài) có tất cả các mặt, các cạnh và các góc ở 
 đỉnh bằng nhau. 
 Tứ diện đều Khối lập Khối bát diện Khối mười hai Khối hai mươi 
 phương đều mặt đều mặt đều
 => A đúng
 + Hình chóp tam giác đều là hình tứ diện đều → D đúng
 + Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là khối lập phương → B đúng
 + Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều không thể là các đỉnh của một hình tứ diện đều → C sai.
Chọn đáp án C.
Câu 2: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
 A. Tứ diện đều B. Bát diện đều C. Hình lập phương D. Lăng trụ lục giác đều 
Chọn đáp án A.
Câu 3: Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
 A. là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh. 
 B. là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó. 
 C. là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp. 
 D. là khối đa diện có hình dạng là hình chóp. 
Hướng dẫn giải:
 Nhiều độc giả có thể nhầm giữa khái niệm hình chóp và khối chóp. Nên khoanh ý A. Tuy nhiên các 
 bạn nên phân biệt rõ ràng giữa hình chóp và khối chóp nói chung, hay hình đa diện và khối đa diện 
 nói riêng. 
 + Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất: 
 a, Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. 
 b, Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. 
 + Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Vậy 
 khi đọc vào từng đáp án ở đây thì ta thấy ý A chính là khái niệm của hình chóp. Ý B là khái niệm 
 của khối chóp. Ý C là mệnh đề bị thiếu, ý D sai. 
Chọn đáp án B.
Câu 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất
 A. Năm cạnhB. Bốn cạnh C. Ba cạnhD. Hai cạnh
Hướng dẫn giải:
 Đúng theo lý thuyết SGK. Các em có thể xem thêm các dạng toán về khối đa diện đều trong sách 
 hình học lớp 12 (các bài tập 1,2,3,4 trang 25 bài 5,6 trang 26).
Chọn đáp án C.